מבוא

משוואה דיופנטית היא משוואה שבה מותרים רק פתרונות שלמים.

למשוואה 3x+5y=1 יש פתרונות רבים. אחד הפתרונות הוא: x₀=2, y₀=-1. אפשר למצוא פתרונות אחרים על ידי הוספת חמישיות ל־x₀ והחסרת שלשות מ־y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

למשוואה 4x+2y=1 אין פתרונות שלמים, מכיוון שהאגף השמאלי זוגי לכל בחירה של מספרים שלמים, והאגף הימני תמיד אי־זוגי.

למשוואה 9x+12y=4 אין פתרונות שלמים, מכיוון שהאגף השמאלי מתחלק ב־3 והאגף הימני לא.

באופן כללי, ייתכן שיהיה צורך בקוד מחשב מיוחד כדי לפתור משוואה דיופנטית נתונה.

מספרים משולשיים ומספרים משושים נוצרים באמצעות הנוסחאות הבאות:

• משולשיים -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• משושים - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

אנחנו רואים ש־T₁=H₁,  T₃=H₂ ו־T₅=H₃.

מתי מספר משושה שווה למספר משולשי?

נתחיל בהנחה ש־t זוגי, ולכן נכתוב: t=2t₀.

לכן, עלינו לפתור:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => פתיחת סוגריים
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => חילוק
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
למשוואה הזאת אין פתרונות שלמים.
לכן, הוא חייב להיות אי־זוגי.

כעת נניח ש־t = 2t₁-1. לכן, עלינו לפתור:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => פתיחת סוגריים
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

לכן, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

וזו התשובה הסופית.