Introduzione

Un’equazione diofantea è un’equazione in cui sono ammesse solo soluzioni intere.

3x+5y=1 ha molte soluzioni. Una delle soluzioni è: x₀=2, y₀=-1. Altre soluzioni si possono trovare aggiungendo multipli di cinque a x₀ e sottraendo multipli di tre da y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 non ha soluzioni intere, poiché il membro sinistro è pari per qualsiasi scelta di interi e il membro destro è sempre dispari.

9x+12y=4 non ha soluzioni intere, poiché il membro sinistro è divisibile per 3 e il membro destro no.

In generale, potrebbe essere necessario un codice informatico speciale per risolvere una data equazione diofantea.

I numeri triangolari ed esagonali sono generati dalle seguenti formule:

• Triangolare -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Esagonale - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Vediamo che T₁=H₁,  T₃=H₂ e T₅=H₃.

Quando un numero esagonale è uguale a un numero triangolare?

Iniziamo supponendo che t sia pari, quindi scriviamo: t=2t₀.

Quindi, dobbiamo risolvere:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => sviluppando i prodotti
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => dividendo
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
questa equazione non ha NESSUNA soluzione intera.
Quindi, deve essere dispari.

Ora supponiamo che t = 2t₁-1. Quindi, dobbiamo risolvere:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => sviluppando i prodotti
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Quindi, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

E questa è la risposta finale.