الأعداد العشوائية في R: ‏rnorm وrunif وsample وset.seed

‏set.seed() تأتي أولًا

السحوبات العشوائية التي تتغير في كل تشغيل عديمة الفائدة للتعليم والتصحيح والتنقيح والعلم، فإذا قالت محاكاتك 0.146 اليوم و0.153 غدًا فأي رقم يدخل التقرير؟ وتثبّت set.seed() نقطة انطلاق المولّد، فيصبح تيار "العشوائية" التالي كله قابلًا للتكرار تمامًا:

set.seed(42)
print(rnorm(3))

set.seed(42)          # same seed...
print(rnorm(3))       # ...same "random" numbers

set.seed(7)           # different seed, different stream
print(rnorm(3))

البذرة نفسها تعني سحوبات متطابقة في كل مرة وعلى كل جهاز. والأرقام شبه عشوائية: متتالية حتمية مصممة لاجتياز كل اختبار إحصائي للعشوائية، وتختار البذرة موضع بدايتك في المتتالية. وقيمة البذرة نفسها لا تحمل معنى، سواء كانت 42 أو 7 أو 20260807، فاختر ما شئت لكن دوّنه. والعادة التي ينبغي بناؤها: ‏set.seed() واحدة في أعلى أي سكربت يستخدم العشوائية. (ولاحظ أن استهلاك السحوبات يقدّم الحالة، فترتيب الاستدعاءات يهم هو أيضًا لقابلية التكرار.)

نظام d/p/q/r: جدول واحد يفك شفرة المكتبة كلها

يسمّي R كل دالة توزيع بصيغة بادئة + عائلة، وحين ترى الشبكة تستطيع قراءة مكتبة الإحصاء كاملة:

البادئة	السؤال الذي تجيب عنه	مثال على التوزيع الطبيعي
r	أعطني سحوبات عشوائية	rnorm(5)
d	الكثافة: كم يبلغ ارتفاع المنحنى عند x؟	dnorm(0)
p	الاحتمال: ما قيمة P(X ≤ x)؟	pnorm(1.96)
q	المئين: أي x يقع عند هذا المئين؟	qnorm(0.975)

وp وq متعاكستان، وهما الزوج الذي قابلته في فترات الثقة بصيغة qt(0.975, df):

print(pnorm(1.96))      # P(Z <= 1.96), about 0.975
print(qnorm(0.975))     # which z has 97.5% below it? About 1.96
print(dnorm(0))         # height of the bell curve at its peak

بدّل اسم العائلة وينتقل كل شيء معه: ‏runif/dunif/punif/qunif وrbinom/... وrpois/... وrt/... وrexp/.... فتعلّم أربع بادئات تحصل على عشرات التوزيعات.

‏rnorm(): سحوبات طبيعية

تسحب rnorm(n, mean, sd) من منحنى جرسي، وهي حصان العمل لمحاكاة بيانات شبيهة بالقياسات:

set.seed(42)
iq <- rnorm(1000, mean = 100, sd = 15)

print(mean(iq))
print(sd(iq))
print(mean(iq > 130))   # share more than 2 sd above the mean

يقع متوسط العينة وانحرافها المعياري قرب 100 و15 لا عندهما بالضبط، وتلك الفجوة هي ضوضاء المعاينة، وتتقلص مع نمو n. والسطر الأخير حيلة تستحق السرقة: فـ mean() لمتجه منطقي هي نسبة قيم TRUE، وتخرج النسبة بعد 130 قريبة من القيمة النظرية 1 - pnorm(130, 100, 15) ≈ 2.3%. والقيم الافتراضية هي mean = 0, sd = 1 (التوزيع الطبيعي المعياري). ويُظهر مدرج تكراري لـ iq الجرس المألوف.

‏runif() وrbinom() وrpois()

ثلاث عائلات أخرى تغطي معظم احتياجات المحاكاة:

set.seed(42)

print(runif(5))                    # uniform on [0, 1]
print(runif(3, min = 10, max = 20))

print(rbinom(8, size = 10, prob = 0.5))   # successes in 10 coin flips, 8 times

print(rpois(8, lambda = 3))        # event counts averaging 3 per interval

تنشر runif() السحوبات بالتساوي عبر مدى ("uniform" أي منتظم، لا "run if"، فالجميع يسيء قراءتها مرة واحدة). وتحاكي rbinom(n, size, prob) عدد n من التجارب، لكل منها size محاولة، وتُرجع عدد نجاحات كل تجربة، فتكون كل قيمة أعلاه عدد مرات ظهور الوجه من 10 رميات. وتولّد rpois(n, lambda) أعداد أحداث تقع باستقلال بمعدل متوسط معلوم: كتذاكر الدعم في الساعة، أو الأخطاء المطبعية في الصفحة.

‏sample(): المعاينة والخلط

حيث تخترع دوال r* قيمًا من توزيع، تسحب sample() من قيم تملكها أصلًا:

set.seed(42)

print(sample(1:10, 3))                              # 3 values, no repeats
print(sample(c("win", "lose"), 5, replace = TRUE))  # 5 draws, repeats allowed
print(sample(1:5))                                  # no size = shuffle everything

والوسيط replace هو القصة كلها: فالقيمة FALSE (الافتراضية) توزّع أوراق اللعب، إذ تظهر كل قيمة مرة واحدة، وطلب أكثر مما تملك خطأ. أما TRUE فترمي النرد، إذ يُعاد الضبط في كل سحبة. والمعاينة مع الإرجاع من بياناتك هي محرك التمهيد الإحصائي. وحين تُستدعى بمتجه فقط، تُرجع sample(x) تبديلًا عشوائيًا، وهي صيغة الخلط.

وتستخدم معاينة صفوف إطار بيانات الدالة sample() داخل فهرسة الصفوف:

set.seed(42)

random_cars <- mtcars[sample(nrow(mtcars), 5), ]
print(random_cars[, c("mpg", "wt", "hp")])

تختار sample(nrow(mtcars), 5) خمسة أرقام صفوف عشوائية، وتسحب الفهرسة تلك الصفوف. وهذه هي الحركة المعيارية لفحص مجموعة بيانات كبيرة على عجل أو لتقسيم بيانات التدريب والاختبار.

محاكاة مونت كارلو مصغّرة

وهنا ثمرة صندوق الأدوات كله. السؤال: عملية تنتج قياسات موزعة وفق N(100, 15)، وأنت تحسب متوسط عشرة منها، فـ ما احتمال أن يتجاوز ذلك المتوسط 105؟ وبدل اشتقاق الجواب، حاكِه: أجرِ التجربة 10,000 مرة وعُدّ:

set.seed(42)

trial <- function() {
  mean(rnorm(10, mean = 100, sd = 15)) > 105
}

results <- replicate(10000, trial())
print(mean(results))

# The exact answer, for comparison:
print(1 - pnorm(105, mean = 100, sd = 15 / sqrt(10)))

تقع المحاكاة ضمن بضعة أجزاء من الألف من القيمة المضبوطة (نحو 0.146). وتلك هي مونت كارلو في جملة واحدة: اكتب تجربة واحدة على هيئة دالة، وكرّرها آلاف المرات بـ replicate()، ثم خذ mean() للنجاحات. وقد وُجد الجواب المضبوط هنا لأن الإعداد بسيط بساطة الكتب المدرسية، لكن في اللحظة التي يتعقد فيها السؤال (توزيعات غريبة، أو القيمة العظمى لسحوبات مترابطة، أو لعبة قائمة على قواعد) ينغلق الطريق التحليلي وتظل وصفة المحاكاة تعمل دون تغيير. ولاحظ 15 / sqrt(10) في المقارنة: فالمتوسطات تتذبذب أقل من السحوبات المفردة، وهو قانون الجذر التربيعي نفسه الذي يحكم اتساع فترات الثقة.

صالح للمحاكاة لا للأسرار

حدّ واحد يستحق الاحترام: فمولّد R الافتراضي (Mersenne Twister) مبني للجودة الإحصائية والسرعة لا للسرية. فمخرجاته حتمية بمعلومية البذرة، ويمكن إعادة بناء حالته الداخلية من مخرجات مرصودة، وهذه عيوب قاتلة لكلمات المرور والرموز وأي شيء ذي صلة بالأمن. أما للمحاكاة والتمهيد الإحصائي والتعليم فهو ممتاز، وأما للتعمية فاستخدم مكتبة مصممة لذلك (كحزمة openssl) ولا تستخدم sample() أو runif() أبدًا.

الخلاصة

• استدعاء set.seed() مرة واحدة في الأعلى يجعل كل نتيجة "عشوائية" قابلة للتكرار: البذرة نفسها تعطي السحوبات نفسها.
• تفك البادئات d/p/q/r شفرة مكتبة التوزيعات كلها: سحبة عشوائية، وكثافة، واحتمال تراكمي، ومئين.
• تغطي rnorm(n, mean, sd) وrunif(n, min, max) وrbinom(n, size, prob) وrpois(n, lambda) معظم احتياجات المحاكاة.
• تسحب sample() من قيمك أنت: ‏replace = TRUE للنرد، والافتراضي لأوراق اللعب، وبلا size للخلط، وتعاين df[sample(nrow(df), k), ] الصفوف.
• مونت كارلو = دالة تجربة واحدة + replicate() + mean()، وهي الوصفة التي تجيب عن أسئلة الاحتمال التي يصعب على الرياضيات بلوغها بسهولة.
• مولّد R للمحاكاة لا للتعمية.

في المستند التالي: التنقيح، أي ما تعنيه رسائل خطأ R فعلًا وكيف تقرأ تتبع الاستدعاءات.