Intervalos de Confiança no R: t.test(), confint() e prop.test()

O Que "95% de Confiança" Realmente Significa

Um intervalo de confiança transforma uma estimativa pontual ("a média amostral é 5,61") em uma faixa honesta ("a média verdadeira está plausivelmente entre 5,29 e 5,93"). Mas a expressão 95% de confiança é uma das mais mal lidas da estatística, então vamos acertá-la logo de cara.

Os 95% descrevem o procedimento, não o intervalo. Imagine repetir seu estudo várias e várias vezes - nova amostra a cada vez, novo intervalo a cada vez. Os intervalos pulariam de um lado para o outro, e cerca de 95% deles capturariam o valor verdadeiro; 5% errariam. Seu único intervalo real é um único sorteio desse processo. O que 95% não significa: "há 95% de probabilidade de a média verdadeira estar entre estes números". A média verdadeira é um número fixo (desconhecido) - ela não fica entrando e saindo de intervalos; são os intervalos que variam.

Na prática a leitura amistosa serve: o intervalo é a faixa de valores compatíveis com os seus dados. Só saiba qual afirmação você está autorizado a fazer quando alguém apertar.

IC para uma Média, do Jeito Fácil

Todo t.test() carrega um intervalo de confiança; você pode rodar o teste só para colhê-lo:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

result <- t.test(times)
print(result$conf.int)
print(result$estimate)

Média 5,61, IC de 95% aproximadamente de 5,29 a 5,93. O intervalo faz o trabalho que uma média solitária não faz: mostra quanta precisão dez observações de fato compram.

O Mesmo IC na Mão

Vale construir uma vez a fórmula por trás desse intervalo, porque ela desmistifica todo IC que você vier a ler: estimativa ± valor crítico × erro padrão.

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

n <- length(times)
m <- mean(times)
se <- sd(times) / sqrt(n)          # standard error of the mean
t_crit <- qt(0.975, df = n - 1)    # t critical value, 2.5% in each tail

margin <- t_crit * se
print(t_crit)
print(margin)
print(c(m - margin, m + margin))

Compare com a saída do t.test() - mesmo intervalo até o último dígito. Três peças móveis:

• O erro padrão sd(x)/sqrt(n) mede o quanto a média amostral oscila (veja estatística descritiva para a distinção entre sd e EP).
• qt(0.975, df) é o valor crítico t: para uma cobertura de 95% você deixa 2,5% em cada cauda, daí 0,975. Com df = 9 ele é cerca de 2,26 - mais gordo que o 1,96 da normal, o imposto de amostra pequena por estimar o sd a partir dos mesmos dados.
• A margem de erro é o produto dos dois - o número do "±" que as manchetes citam.

Mudando o Nível: 90%, 99% e o Trade-Off

conf.level controla a cobertura e, com ela, a largura:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

print(t.test(times, conf.level = 0.90)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.95)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.99)$conf.int)

Mais confiança custa mais largura - um intervalo de 99% precisa ser largo o bastante para acertar 99 vezes em 100, então ele se estica; um intervalo de 90% é mais apertado, mas erra o dobro das vezes em relação ao de 95%. Não existe almoço grátis, apenas um botão. 95% é pura convenção: um padrão que vale manter a menos que você tenha um motivo, não uma lei da natureza.

IC para uma Proporção: prop.test()

Suponha que 47 de 120 usuários pesquisados adotem um novo recurso. Qual é a faixa plausível para a taxa real de adoção?

result <- prop.test(47, 120)
print(result$estimate)
print(result$conf.int)

Proporção amostral 0,39, IC de 95% aproximadamente de 0,30 a 0,49 - então "cerca de 40% de adoção" só é honesto com aquela auréola de ±9 pontos anexada. prop.test() usa uma aproximação melhor que a fórmula de livro-texto p ± 1.96 × sqrt(p(1−p)/n) (é um intervalo tipo Wilson com correção de continuidade), o que importa mais perto de 0 ou 1 - o intervalo de livro-texto pode escapar de [0, 1]; este não pode. Para contagens muito pequenas, binom.test(47, 120)$conf.int dá a versão exata.

ICs para Coeficientes de Modelos: confint()

Modelos ajustados ganham intervalos por meio de uma única função genérica:

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
print(confint(fit))
print(confint(fit, level = 0.99))

Cada linha delimita um coeficiente da regressão linear: o intervalo de 95% da inclinação de wt vai de cerca de −6,5 a −4,2 mpg por 1000 lbs. Isso é mais informativo que o p-valor do summary - diz que o efeito não é apenas diferente de zero, mas pelo menos ~4 mpg e possivelmente ~6,5.

Para um glm() logístico, confint(fit) funciona igual, mas retorna limites em log-odds; exponencie para obter intervalos de razão de chances - exp(confint(fit)) - e lembre que o valor de referência de "nenhum efeito" passa a ser 1 em vez de 0.

Tamanho da Amostra: a Lei da Raiz Quadrada

A largura encolhe com sqrt(n), o que tem uma consequência memorável: quadruplique os dados, reduza o intervalo pela metade. Veja isso acontecer com dados simulados - mesma distribuição, uma amostra 4× maior (fixar a semente torna isso reprodutível; veja números aleatórios):

set.seed(42)
small <- rnorm(50, mean = 100, sd = 15)
large <- rnorm(200, mean = 100, sd = 15)   # 4 times the n

ci_small <- t.test(small)$conf.int
ci_large <- t.test(large)$conf.int

print(diff(ci_small))   # width with n = 50
print(diff(ci_large))   # width with n = 200 - about half

As larguras chegam perto de uma razão de 2:1 (o ruído amostral impede que seja exata). A raiz quadrada é o motivo de a precisão ficar cara: as primeiras 100 observações compram mais estreitamento do que as 300 seguintes juntas, e reduzir pela metade um intervalo já estreito sempre custa 4× o que você pagou até ali.

IC e P-Valor: Duas Visões de um Mesmo Teste

Um intervalo de confiança e um teste de hipótese são a mesma informação com roupas diferentes. O IC de 95% contém exatamente os valores de parâmetro que um teste bilateral no nível de 0,05 não rejeitaria. Então:

• IC para uma diferença de médias exclui o 0 ⇔ o teste t diz p < 0,05.
• IC para uma razão de chances exclui o 1 ⇔ o p do coeficiente é < 0,05.

Quando você tem o intervalo, normalmente tem o melhor resumo: ele entrega o mesmo veredito de significância mais o tamanho do efeito em unidades reais. "p = 0,03" diz que existe uma diferença; "IC de 95%: 0,2 a 7,6" diz que ela existe e pode ser trivial ou pode ser enorme - o que muitas vezes é a descoberta que importa.

O Que Você Leva Daqui

• Os 95% descrevem a taxa de acerto do procedimento no longo prazo, não a probabilidade de este intervalo específico ter capturado a verdade.
• Média: t.test(x)$conf.int, ou na mão como média ± qt(0.975, n−1) × EP.
• Proporção: prop.test(x, n)$conf.int; coeficientes de modelos: confint(fit) (exponencie para razões de chances em glm).
• Mais confiança = intervalo mais largo; 95% é convenção, não lei.
• A largura encolhe com sqrt(n): 4× os dados reduz o intervalo pela metade.
• O IC contém todo valor que um teste de nível 0,05 não rejeitaria - e, ao contrário do p-valor, ele mostra o tamanho do efeito.

A seguir: o kit de simulação por trás de tudo isso - números aleatórios com rnorm, runif, sample e set.seed.