Introduction

Una ecuación diofántica es una ecuación en la que solo se permiten soluciones enteras.

3x+5y=1 tiene muchas soluciones. Una de las soluciones es: x₀=2, y₀=-1. Se pueden encontrar otras soluciones sumando cincos a x₀ y restando treses a y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 no tiene soluciones enteras, ya que el lado izquierdo es par para cualquier elección de enteros y el lado derecho siempre es impar.

9x+12y=4 no tiene soluciones enteras, ya que el lado izquierdo es divisible por 3 y el derecho no.

En general, uno podría necesitar un código informático especial para resolver una ecuación diofántica dada.

Los números triangulares y hexagonales se generan mediante las siguientes fórmulas:

• Triangular -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Hexagonal - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Vemos que T₁=H₁,  T₃=H₂ y T₅=H₃.

¿Cuándo es un número hexagonal igual a un número triangular?

Comenzamos asumiendo que t es par, por lo que escribimos: t=2t₀.

Por lo tanto, tenemos que resolver:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => abrir paréntesis
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => dividir
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
esta ecuación NO tiene soluciones enteras.
Por lo tanto, t debe ser impar.

Ahora asumamos, t = 2t₁-1. Por lo tanto, tenemos que resolver:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => abrir paréntesis
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Entonces, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Y esta es la respuesta final.