Introduction

Une équation diophantienne est une équation dans laquelle seules les solutions entières sont autorisées.

3x+5y=1 possède de nombreuses solutions. L'une des solutions est : x₀=2, y₀=-1. D'autres solutions peuvent être trouvées en ajoutant des multiples de cinq à x₀ et en soustrayant des multiples de trois à y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 n'a pas de solutions entières, car le côté gauche est pair pour tout choix d'entiers et le côté droit est toujours impair.

9x+12y=4 n'a pas de solutions entières, car le côté gauche est divisible par 3 et le côté droit ne l'est pas.

En général, on peut avoir besoin d'un code informatique spécial pour résoudre une équation diophantienne donnée.

Les nombres triangulaires et hexagonaux sont générés par les formules suivantes :

• Triangulaire -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Hexagonal - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Nous voyons que T₁=H₁,  T₃=H₂ et T₅=H₃.

Quand un nombre hexagonal est-il égal à un nombre triangulaire ?

Nous commençons par supposer que t est pair, nous écrivons donc : t=2t₀.

Ainsi, nous devons résoudre :
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => développement des parenthèses
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => division
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
cette équation n'a AUCUNE solution entière.
Par conséquent, t doit être impair.

Supposons maintenant que t = 2t₁-1. Ainsi, nous devons résoudre :
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => développement des parenthèses
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Donc, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Et ceci est la réponse finale.