Wprowadzenie

Równanie diofantyczne to równanie, w którym dopuszczalne są tylko rozwiązania całkowite.

Równanie 3x+5y=1 ma wiele rozwiązań. Jednym z nich jest: x₀=2, y₀=-1. Inne rozwiązania można znaleźć, dodając piątki do x₀ i odejmując trójki od y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

Równanie 4x+2y=1 nie ma rozwiązań całkowitych, ponieważ lewa strona jest parzysta dla dowolnego wyboru liczb całkowitych, a prawa strona jest zawsze nieparzysta.

Równanie 9x+12y=4 nie ma rozwiązań całkowitych, ponieważ lewa strona jest podzielna przez 3, a prawa nie.

Ogólnie rzecz biorąc, do rozwiązania danego równania diofantycznego może być potrzebny specjalny kod komputerowy.

Liczby trójkątne i sześciokątne są generowane za pomocą następujących wzorów:

• Trójkątne -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Sześciokątne - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Widzimy, że T₁=H₁,  T₃=H₂ i T₅=H₃.

Kiedy liczba sześciokątna jest równa liczbie trójkątnej?

Zaczynamy od założenia, że t jest parzyste, więc zapisujemy: t=2t₀.

Zatem musimy rozwiązać:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => otwieramy nawiasy
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => dzielimy
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
to równanie NIE ma rozwiązań całkowitych.
Zatem t musi być nieparzyste.

Załóżmy teraz, że t = 2t₁-1. Zatem musimy rozwiązać:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => otwieramy nawiasy
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Zatem t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

I to jest ostateczna odpowiedź.