Introduction

Bir Diophantine denklemi, yalnızca tam sayı çözümlerine izin verilen bir denklemdir.

3x+5y=1 denkleminin birçok çözümü vardır. Çözümlerden biri şudur: x₀=2, y₀=-1. Diğer çözümler, x₀'a beş ekleyerek ve y₀'dan üç çıkararak bulunabilir. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 denkleminin tam sayı çözümü yoktur, çünkü sol taraf herhangi bir tam sayı seçimi için çifttir ve sağ taraf her zaman tektir.

9x+12y=4 denkleminin tam sayı çözümü yoktur, çünkü sol taraf 3 ile bölünebilirken sağ taraf bölünemez.

Genel olarak, verilen bir Diophantine denklemini çözmek için özel bir bilgisayar koduna ihtiyaç duyulabilir.

Üçgensel ve altıgensel sayılar aşağıdaki formüllerle üretilir:

• Üçgensel -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Altıgensel - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

T₁=H₁,  T₃=H₂ ve T₅=H₃ olduğunu görüyoruz.

Bir altıgensel sayı ne zaman bir üçgensel sayıya eşittir?

t'nin çift olduğunu varsayarak başlıyoruz, bu yüzden şöyle yazıyoruz: t=2t₀.

Böylece, şunu çözmemiz gerekir:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => parantezleri aç
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => böl
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
bu denklemin tam sayı çözümü YOKTUR.
Bu yüzden, t tek olmalıdır.

Şimdi t = 2t₁-1 olduğunu varsayalım. Böylece, şunu çözmemiz gerekir:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => parantezleri aç
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Yani, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Ve bu nihai cevaptır.