Introduction

معادلة ديوفانتوس هي معادلة لا يُسمح فيها إلا بالحلول الصحيحة.

للمعادلة 3x+5y=1 حلول كثيرة. أحد الحلول هو: x₀=2، y₀=-1. يمكن إيجاد حلول أخرى بإضافة خمسات إلى x₀ وطرح ثلاثات من y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

المعادلة 4x+2y=1 ليس لها حلول صحيحة، لأن الطرف الأيسر زوجي لأي اختيار للأعداد الصحيحة والطرف الأيمن فردي دائماً.

المعادلة 9x+12y=4 ليس لها حلول صحيحة، لأن الطرف الأيسر يقبل القسمة على 3 بينما الطرف الأيمن لا يقبل.

بشكل عام، قد يحتاج المرء إلى كود حاسوبي خاص لحل معادلة ديوفانتوس معينة.

يتم توليد الأعداد المثلثية والسداسية بواسطة الصيغ التالية:

• المثلثية -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• السداسية - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

نلاحظ أن T₁=H₁، و T₃=H₂ و T₅=H₃.

متى يتساوى العدد السداسي مع العدد المثلثي؟

نبدأ بافتراض أن t زوجي، لذا نكتب: t=2t₀.

وبالتالي، علينا حل:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => فك الأقواس
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => القسمة
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
هذه المعادلة ليس لها حلول صحيحة.
لذا، يجب أن يكون فردياً.

الآن نفترض أن t = 2t₁-1. وبالتالي، علينا حل:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => فك الأقواس
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

لذا، t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

وهذا هو الجواب النهائي.