Introduction

Uma equação diofantina é uma equação na qual apenas soluções inteiras são permitidas.

3x+5y=1 possui muitas soluções. Uma das soluções é: x₀=2, y₀=-1. Outras soluções podem ser encontradas somando cincos a x₀ e subtraindo três de y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 não possui soluções inteiras, pois o lado esquerdo é par para qualquer escolha de inteiros e o lado direito é sempre ímpar.

9x+12y=4 não possui soluções inteiras, pois o lado esquerdo é divisível por 3 e o lado direito não é.

Em geral, pode ser necessário um código de computador especial para resolver uma determinada equação diofantina.

Números triangulares e hexagonais são gerados pelas seguintes fórmulas:

• Triangular -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Hexagonal - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Vemos que T₁=H₁,  T₃=H₂ e T₅=H₃.

Quando um número hexagonal é igual a um número triangular?

Começamos assumindo que t é par, então escrevemos: t=2t₀.

Assim, temos que resolver:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => abrir parênteses
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => dividir
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
esta equação NÃO possui soluções inteiras.
Portanto, t deve ser ímpar.

Agora assuma, t = 2t₁-1. Assim, temos que resolver:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => abrir parênteses
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Logo, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

E esta é a resposta final.