Giới thiệu

Phương trình Diophantine là phương trình chỉ chấp nhận nghiệm nguyên.

3x+5y=1 có nhiều nghiệm. Một nghiệm là: x₀=2, y₀=-1. Có thể tìm các nghiệm khác bằng cách cộng thêm 5 vào x₀ và trừ đi 3 khỏi y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 không có nghiệm nguyên, vì vế trái luôn là số chẵn với mọi lựa chọn số nguyên, còn vế phải luôn là số lẻ.

9x+12y=4 không có nghiệm nguyên, vì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải thì không.

Nói chung, có thể cần một đoạn code máy tính đặc biệt để giải một phương trình Diophantine cho trước.

Số tam giác và số lục giác được tạo ra theo các công thức sau:

• Số tam giác -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Số lục giác - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Ta thấy T₁=H₁,  T₃=H₂ và T₅=H₃.

Khi nào một số lục giác bằng một số tam giác?

Ta bắt đầu bằng cách giả sử t là số chẵn, nên viết: t=2t₀.

Vậy, ta cần giải:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => khai triển dấu ngoặc
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => chia
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
phương trình này KHÔNG có nghiệm nguyên.
Vậy, t phải là số lẻ.

Bây giờ giả sử t = 2t₁-1. Vậy, ta cần giải:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => khai triển dấu ngoặc
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Vậy, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Và đây là đáp án cuối cùng.