Cacbon-14 sau ba chu kỳ bán rã
plain
N₀ = 100, t = 17.190 yr, t½ = 5730 yrt/t½ = 17.190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Ban đầu có 100 g thì còn 12,5 g; ban đầu là 100% thì còn 12,5%.
Tính chu kỳ bán rã
Lượng chất còn lại sau phân rã phóng xạ, thời gian đã trôi qua, hoặc chu kỳ bán rã.
Cập nhật lần cuối
Muốn tự giải những bài này mà không cần máy tính?
Khóa học vật lý của Coddy dạy bạn phương pháp: bạn giải từng bài theo từng bước trên một bảng tương tác, và bảng sẽ chỉ ra bước nào bị sai.
Công thức chu kỳ bán rã và ý nghĩa của nó
Một mẫu chất phóng xạ phân rã với tốc độ do chu kỳ bán rã t½ quyết định: thời gian để một nửa số nguyên tử phân rã. Dù ban đầu có bao nhiêu, sau một chu kỳ bán rã còn một nửa, sau hai chu kỳ còn một phần tư, sau ba chu kỳ còn một phần tám. Công thức là N = N₀(½)^(t/t½), trong đó N₀ là lượng ban đầu, N là lượng còn lại và t là thời gian đã trôi qua.
Số mũ t/t½ đếm xem đã qua bao nhiêu chu kỳ bán rã, và không nhất thiết phải là số nguyên. Muốn tính ngược ra thời gian, lấy logarit cơ số 2: t = t½ · log₂(N₀/N). Nếu 80 g chỉ còn 10 g thì N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, nên đã qua ba chu kỳ bán rã. Chu kỳ bán rã không phụ thuộc vào lượng chất bạn có: một gam hay một tấn iốt-131 đều giảm một nửa sau 8,02 ngày.
Máy tính giải công thức theo đại lượng bạn để trống trong bốn đại lượng: lượng còn lại, lượng ban đầu, thời gian hoặc chu kỳ bán rã. Hai lượng chất có thể dùng đơn vị bất kỳ, gam, số nguyên tử, phần trăm hay độ phóng xạ tính bằng becquerel, miễn là cả hai dùng cùng một đơn vị. Thời gian có thể tính bằng giây, phút, giờ, ngày hoặc năm (một năm ở đây là 365,25 ngày), và thời gian với chu kỳ bán rã có thể dùng đơn vị khác nhau: cả hai được đổi sang giây trước, và đáp án được hiện theo đơn vị bạn chọn cùng các đơn vị khác.
Điều cần để ý
- Sau 1, 2, 3, 4 và 5 chu kỳ bán rã, phần còn lại là 50%, 25%, 12,5%, 6,25% và 3,125%. Mỗi chu kỳ bán rã làm giảm một nửa lượng đang còn, không phải lượng ban đầu.
- Theo công thức, sự phân rã không bao giờ thực sự về 0. Sau 10 chu kỳ bán rã còn khoảng 0,1%; sau 20 chu kỳ, khoảng một phần triệu.
- Các lượng chất chỉ xuất hiện dưới dạng tỷ số N₀/N, nên đơn vị của chúng triệt tiêu. Khối lượng, số nguyên tử, phần trăm và độ phóng xạ tính bằng becquerel đều dùng được, nếu cả hai lượng dùng cùng một đơn vị.
- Thời gian và chu kỳ bán rã phải cùng đơn vị trước khi chia. 24 giờ với chu kỳ bán rã 6,01 giờ cho 24 / 6,01 = 3,99 chu kỳ bán rã.
- Hằng số phóng xạ là λ = ln 2 / t½, phần nguyên tử phân rã trong mỗi đơn vị thời gian. N = N₀e^(−λt) là cùng định luật đó, viết với e thay vì ½.
Cách giải bài toán chu kỳ bán rã
Ghi lại những gì đã biết
Ba trong bốn đại lượng: lượng ban đầu N₀, lượng còn lại N, thời gian t và chu kỳ bán rã t½.
Đưa thời gian và chu kỳ bán rã về cùng đơn vị
Giờ với giờ, năm với năm. 2 ngày là 48 giờ; một năm là 365,25 ngày.
Tìm lượng còn lại: lấy ½ mũ t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g cacbon-14 sau 17.190 năm: 17.190 / 5730 = 3, và 100 · (½)³ = 12,5 g.
Tìm thời gian: lấy logarit cơ số 2
t = t½ · log₂(N₀/N). Từ 100% xuống 25% là log₂ 4 = 2 chu kỳ bán rã; với cacbon-14 đó là 2 · 5730 = 11.460 năm. Trên máy tính bỏ túi không có log₂, dùng log₂ x = ln x / ln 2.
Chu kỳ bán rã của các đồng vị quen thuộc
Giá trị chuẩn đã làm tròn. Chúng trải từ vài phút đến hàng tỷ năm, vì vậy máy tính nhận thời gian từ giây đến năm.
| Đồng vị | Chu kỳ bán rã | Gặp ở đâu |
|---|---|---|
| Flo-18 | 110 phút | Chụp PET |
| Tecneti-99m | 6,01 giờ | Chất đánh dấu được dùng nhiều nhất trong chẩn đoán hình ảnh y khoa |
| Radon-222 | 3,82 ngày | Khí thoát ra từ đất đá và tích tụ trong tầng hầm |
| Iốt-131 | 8,02 ngày | Điều trị tuyến giáp |
| Polonium-210 | 138 ngày | Nguồn phát hạt alpha |
| Coban-60 | 5,27 năm | Xạ trị, tiệt trùng dụng cụ y tế |
| Hydro-3 (triti) | 12,3 năm | Biển báo lối thoát hiểm phát sáng và mặt đồng hồ đeo tay |
| Xesi-137 | 30,1 năm | Bụi phóng xạ từ Chernobyl và Fukushima |
| Radium-226 | 1600 năm | Sơn dạ quang thời xưa |
| Cacbon-14 | 5730 năm | Xác định niên đại bằng cacbon phóng xạ |
| Plutonium-239 | 24.100 năm | Lò phản ứng hạt nhân |
| Uranium-235 | 704 triệu năm | Nhiên liệu hạt nhân |
| Kali-40 | 1,25 tỷ năm | Chuối, cơ thể người, xác định tuổi đá |
| Uranium-238 | 4,47 tỷ năm | Xác định tuổi những tảng đá cổ nhất trên Trái Đất |
Ví dụ có lời giải
Tìm chu kỳ bán rã từ hai lần đo
plain
N₀ = 80, N = 10, t = 24 dBiến đổi để tìm chu kỳ bán rã: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 ngày. Giá trị này gần với 8,02 ngày của iốt-131. Chọn đơn vị ngày cho ô chu kỳ bán rã thì đáp án là 8; máy cũng cho kết quả theo giây, giờ và năm.
Bao lâu thì còn một phần tư
plain
N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 ngày. Một phần tư là hai lần giảm một nửa, nên thời gian bằng hai chu kỳ bán rã.
Chất đánh dấu y khoa sau một ngày
plain
N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTecneti-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 chu kỳ bán rã, không phải số nguyên, và điều đó hoàn toàn bình thường. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, nên sau một ngày còn 6,28% liều ban đầu.
Xác định niên đại bằng cacbon
plain
N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 yrMột mẩu xương chỉ còn 25% lượng cacbon-14 so với mô sống: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11.460 năm tuổi.
Lỗi thường gặp
- Nghĩ rằng sau hai chu kỳ bán rã thì hết sạch. Chu kỳ đầu mất một nửa, chu kỳ sau mất một nửa phần còn lại: sau hai chu kỳ còn 25%, sau ba chu kỳ còn 12,5%.
- Trừ đi thay vì chia đôi. Sau mỗi chu kỳ bán rã, lượng chất được nhân với ½; nó không giảm đi một lượng như nhau mỗi lần.
- Chia thời gian cho chu kỳ bán rã khi hai đại lượng khác đơn vị. 24 giờ trên chu kỳ bán rã 8,02 ngày phải được đổi thành 1 ngày trên 8,02 ngày trước đã.
- Dùng đơn vị khác nhau cho hai lượng chất. N theo gam còn N₀ theo phần trăm cho một tỷ số vô nghĩa; cả hai phải cùng là gam, cùng là số nguyên tử hoặc cùng là phần trăm.
- Lấy ln hoặc log₁₀ của N₀/N rồi quên chia cho ln 2 hoặc log₁₀ 2. Thời gian là t½ · log₂(N₀/N), và log₂ x = ln x / ln 2.
- Đổi chỗ N và N₀. Lượng ban đầu là lượng lớn hơn; N₀/N lớn hơn 1 với mọi chất đã phân rã.
Câu hỏi thường gặp về chu kỳ bán rã
Công thức chu kỳ bán rã là gì?
N = N₀(½)^(t/t½), trong đó N₀ là lượng ban đầu, N là lượng còn lại sau thời gian t, và t½ là chu kỳ bán rã. Số mũ t/t½ là số chu kỳ bán rã đã trôi qua.
Tính chu kỳ bán rã thế nào?
Đo lượng chất lúc đầu và sau một khoảng thời gian đã biết, rồi dùng t½ = t / log₂(N₀/N). Nếu 80 đơn vị giảm còn 10 trong 24 ngày, log₂ 8 = 3, nên chu kỳ bán rã là 24 / 3 = 8 ngày.
Tìm thời gian từ chu kỳ bán rã thế nào?
Dùng t = t½ · log₂(N₀/N). Logarit đếm số lần giảm một nửa: từ 100% xuống 12,5% là log₂ 8 = 3 chu kỳ bán rã, nên với chu kỳ bán rã 5730 năm, thời gian là 17.190 năm.
Sau 3 chu kỳ bán rã còn lại bao nhiêu?
Một phần tám, tức 12,5%. Mỗi chu kỳ bán rã làm giảm một nửa lượng đang còn: 50% sau một chu kỳ, 25% sau hai, 12,5% sau ba, 6,25% sau bốn và 3,125% sau năm.
Có thể dùng gam, số nguyên tử hoặc phần trăm cho lượng chất không?
Có. Công thức chỉ dùng tỷ số giữa hai lượng chất, nên đơn vị nào cũng được miễn là lượng còn lại và lượng ban đầu dùng cùng một đơn vị. Độ phóng xạ tính bằng becquerel cũng dùng được, vì nó giảm theo cùng chu kỳ bán rã.
Hằng số phóng xạ là gì?
Hằng số phóng xạ λ là phần nguyên tử phân rã trong mỗi đơn vị thời gian, và λ = ln 2 / t½. Với cacbon-14, λ = 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ mỗi năm. Khi đó định luật có thể viết là N = N₀e^(−λt).
Xác định niên đại bằng cacbon dùng chu kỳ bán rã thế nào?
Sinh vật sống hấp thụ cacbon-14 và giữ tỷ lệ của nó bằng với không khí. Khi chết đi, cacbon-14 phân rã với chu kỳ bán rã 5730 năm. Đo phần còn lại, rồi t = 5730 · log₂(N₀/N) cho ra tuổi: còn 25% nghĩa là 11.460 năm.
