Introduction

Диофантово уравнение — это уравнение, для которого допускаются только целые решения.

Уравнение 3x+5y=1 имеет множество решений. Одно из решений: x₀=2, y₀=-1. Другие решения можно найти, прибавляя пятерки к x₀ и вычитая тройки из y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

Уравнение 4x+2y=1 не имеет целых решений, так как левая часть четная при любом выборе целых чисел, а правая часть всегда нечетная.

Уравнение 9x+12y=4 не имеет целых решений, так как левая часть делится на 3, а правая — нет.

В общем случае для решения заданного диофантова уравнения может потребоваться специальный компьютерный код.

Треугольные и шестиугольные числа генерируются по следующим формулам:

• Треугольные -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Шестиугольные - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Мы видим, что T₁=H₁,  T₃=H₂ и T₅=H₃.

Когда шестиугольное число равно треугольному числу?

Начнем с предположения, что t четное, поэтому запишем: t=2t₀.

Таким образом, нам нужно решить:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => раскроем скобки
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => разделим
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
это уравнение НЕ имеет целых решений.
Следовательно, t должно быть нечетным.

Теперь предположим, что t = 2t₁-1. Таким образом, нам нужно решить:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => раскроем скобки
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Следовательно, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

И это окончательный ответ.