Üç yarı ömür sonra karbon-14
plain
N₀ = 100, t = 17 190 yr, t½ = 5730 yrt/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. 100 g ile başlarsan 12,5 g kalır; %100 ile başlarsan %12,5 kalır.
Yarı ömür hesaplama
Radyoaktif bozunmadan sonra kalan miktar, geçen süre ya da yarı ömür.
Son güncelleme
Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?
Coddy fizik dersi yöntemin kendisini öğretir: her problemi etkileşimli bir tahtada adım adım çözersin ve hangi adımın yanlış gittiğini öğrenirsin.
Yarı ömür formülü ve söyledikleri
Radyoaktif bir örnek, yarı ömrü t½ ile belirlenen bir hızla bozunur: atomların yarısının bozunması için geçen süre. Ne kadarla başlarsan başla, bir yarı ömür sonra yarısı, iki yarı ömür sonra dörtte biri, üç yarı ömür sonra sekizde biri kalır. Formül N = N₀(½)^(t/t½)'dir; burada N₀ başlangıç miktarı, N kalan miktar ve t geçen süredir.
Üs t/t½ kaç yarı ömür geçtiğini sayar ve tam sayı olmak zorunda değildir. Süreye geri dönmek için 2 tabanında logaritma al: t = t½ · log₂(N₀/N). 80 g, 10 g'a inmişse N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, yani üç yarı ömür geçmiştir. Yarı ömür ne kadar maddeye sahip olduğuna bağlı değildir: bir gram iyot-131 de bir ton iyot-131 de 8,02 günde yarıya iner.
Hesaplayıcı formülü dört büyüklükten boş bıraktığın hangisiyse onun için çözer: kalan miktar, başlangıç miktarı, süre ya da yarı ömür. İki miktar da aynı birimi kullandığı sürece herhangi bir birimde olabilir: gram, atom sayısı, yüzde ya da becquerel cinsinden aktivite. Süreler saniye, dakika, saat, gün ya da yıl (burada bir yıl 365,25 gündür) cinsinden olabilir ve süre ile yarı ömür farklı birimler kullanabilir: ikisi de önce saniyeye çevrilir, cevap seçtiğin birimde ve diğerlerinde verilir.
Nelere dikkat etmeli
- 1, 2, 3, 4 ve 5 yarı ömürden sonra kalan kesir %50, %25, %12,5, %6,25 ve %3,125'tir. Her yarı ömür başlangıçtakini değil, kalanı yarıya indirir.
- Formülde bozunma hiçbir zaman tam olarak sıfıra ulaşmaz. 10 yarı ömürden sonra yaklaşık %0,1 kalır; 20'den sonra yaklaşık milyonda bir.
- Miktarlar yalnızca oran olarak, N₀/N şeklinde görünür, bu yüzden birimleri sadeleşir. İki miktar da aynı birimi kullandığı sürece kütle, atom sayısı, yüzde ve becquerel cinsinden aktivite işe yarar.
- Süre ile yarı ömür bölünmeden önce aynı birimde olmalıdır. 24 saat ve 6,01 saatlik yarı ömür 24 / 6,01 = 3,99 yarı ömür verir.
- Bozunma sabiti λ = ln 2 / t½'dir, birim zamanda bozunan kesir. N = N₀e^(−λt), aynı yasanın ½ yerine e ile yazılmış hâlidir.
Yarı ömür problemleri nasıl çözülür
Bildiklerini yaz
Dört büyüklükten üçü: başlangıç miktarı N₀, kalan miktar N, süre t ve yarı ömür t½.
Süreyi ve yarı ömrü aynı birime çevir
Saat ile saat, yıl ile yıl. 2 gün 48 saattir; bir yıl 365,25 gündür.
Kalan miktar için ½'yi t/t½ kuvvetine yükselt
N = N₀ · (½)^(t/t½). 17 190 yıl sonra 100 g karbon-14: 17 190 / 5730 = 3 ve 100 · (½)³ = 12,5 g.
Süre için 2 tabanında logaritma al
t = t½ · log₂(N₀/N). %100'den %25'e inmek log₂ 4 = 2 yarı ömürdür; karbon-14 için bu 2 · 5730 = 11 460 yıl eder. log₂ tuşu olmayan bir hesap makinesinde log₂ x = ln x / ln 2 kullan.
Bilinen izotopların yarı ömürleri
Yuvarlanmış standart değerler. Dakikalardan milyarlarca yıla kadar uzanırlar; hesaplayıcının saniyeden yıla kadar süreleri kabul etmesinin nedeni budur.
| İzotop | Yarı ömür | Nerede karşılaşırsın |
|---|---|---|
| Flor-18 | 110 dakika | PET taramaları |
| Teknesyum-99m | 6,01 saat | Tıbbi taramalarda en çok kullanılan izleyici |
| Radon-222 | 3,82 gün | Kayalardan bodrumlara sızan bir gaz |
| İyot-131 | 8,02 gün | Tiroit tedavisi |
| Polonyum-210 | 138 gün | Alfa kaynakları |
| Kobalt-60 | 5,27 yıl | Radyoterapi, tıbbi ekipmanın sterilizasyonu |
| Hidrojen-3 (trityum) | 12,3 yıl | Parlayan çıkış tabelaları ve saat kadranları |
| Sezyum-137 | 30,1 yıl | Çernobil ve Fukuşima serpintisi |
| Radyum-226 | 1600 yıl | Eski ışıldayan boyalar |
| Karbon-14 | 5730 yıl | Radyokarbon yaş tayini |
| Plütonyum-239 | 24 100 yıl | Nükleer reaktörler |
| Uranyum-235 | 704 milyon yıl | Nükleer yakıt |
| Potasyum-40 | 1,25 milyar yıl | Muz, insan vücudu, kayaların yaş tayini |
| Uranyum-238 | 4,47 milyar yıl | Dünya'daki en eski kayaların yaş tayini |
Çözümlü örnekler
İki ölçümden yarı ömür
plain
N₀ = 80, N = 10, t = 24 dYarı ömür için düzenle: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 gün. Bu, iyot-131'in 8,02 gününe yakındır. Yarı ömür kutusunu gün yap, cevap 8 olarak okunur; saniye, saat ve yıl cinsinden de verilir.
Dörtte biri kalana kadar ne kadar sürer
plain
N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 gün. Dörtte bir iki kez yarılanmaktır, yani süre iki yarı ömürdür.
Bir gün sonra tıbbi izleyici
plain
N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTeknesyum-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 yarı ömür; tam sayı değil, bunda sorun yok. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, yani bir gün sonra dozun %6,28'i kalır.
Karbon-14 ile yaş tayini
plain
N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 yrCanlı dokunun karbon-14'ünün %25'ini taşıyan bir kemik: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 yaşındadır.
Sık yapılan hatalar
- İki yarı ömürden sonra hepsinin bittiğini sanmak. İlkinde yarısı gider, sonra kalanın yarısı: ikiden sonra %25, üçten sonra %12,5 kalır.
- Yarıya bölmek yerine çıkarmak. Her yarı ömürden sonra miktar ½ ile çarpılır; her seferinde aynı miktarda azalmaz.
- Süre ile yarı ömür farklı birimlerdeyken süreyi yarı ömre bölmek. 24 saat bölü 8,02 günlük yarı ömür, önce 1 gün bölü 8,02 gün olmalıdır.
- İki miktar için farklı birimler kullanmak. Gram cinsinden N ve yüzde cinsinden N₀ anlamsız bir oran verir; ikisi de gram, ikisi de atom sayısı ya da ikisi de yüzde olmalıdır.
- N₀/N'nin ln ya da log₁₀ değerini alıp ln 2 ya da log₁₀ 2'ye bölmeyi unutmak. Süre t½ · log₂(N₀/N)'dir ve log₂ x = ln x / ln 2.
- N ile N₀'ı karıştırmak. Başlangıç miktarı büyük olandır; bozunmuş her şey için N₀/N 1'den büyüktür.
Yarı ömür hakkında sık sorulanlar
Yarı ömür formülü nedir?
N = N₀(½)^(t/t½); burada N₀ başlangıç miktarı, N t süresi sonunda kalan miktar ve t½ yarı ömürdür. Üs t/t½ geçen yarı ömür sayısıdır.
Yarı ömür nasıl hesaplanır?
Başlangıçtaki miktarı ve bilinen bir süre sonraki miktarı ölç, sonra t½ = t / log₂(N₀/N) kullan. 80 birim 24 günde 10'a iniyorsa log₂ 8 = 3, yani yarı ömür 24 / 3 = 8 gündür.
Yarı ömürden süre nasıl bulunur?
t = t½ · log₂(N₀/N) kullan. Logaritma yarılanmaları sayar: %100'den %12,5'e inmek log₂ 8 = 3 yarı ömürdür; yani 5730 yıllık bir yarı ömür için süre 17 190 yıldır.
3 yarı ömürden sonra ne kadar kalır?
Sekizde bir, %12,5. Her yarı ömür kalanı yarıya indirir: birden sonra %50, ikiden sonra %25, üçten sonra %12,5, dörtten sonra %6,25 ve beşten sonra %3,125.
Miktarlar için gram, atom sayısı ya da yüzde kullanabilir miyim?
Evet. Formül yalnızca iki miktarın oranını kullanır, bu yüzden kalan miktar ile başlangıç miktarı aynı birimi kullandığı sürece her birim işe yarar. Becquerel cinsinden aktivite de olur, çünkü aynı yarı ömürle azalır.
Bozunma sabiti nedir?
Bozunma sabiti λ, birim zamanda bozunan atomların kesridir ve λ = ln 2 / t½'dir. Karbon-14 için yılda 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴'tür. Yasa o zaman N = N₀e^(−λt) olarak yazılabilir.
Karbon-14 ile yaş tayini yarı ömrü nasıl kullanır?
Canlılar karbon-14 alır ve havadakiyle aynı oranı korur. Öldüklerinde bu karbon-14, 5730 yıllık yarı ömürle bozunur. Kalan kesri ölç; t = 5730 · log₂(N₀/N) yaşı verir: %25 kalmışsa 11 460 yıl demektir.
