R'de Güven Aralıkları: t.test(), confint() ve prop.test()

"%95 Güven" Gerçekte Ne Demektir

Bir güven aralığı, bir nokta tahminini ("örneklem ortalaması 5.61") dürüst bir aralığa çevirir ("gerçek ortalama makul biçimde 5.29 ile 5.93 arasında"). Ama %95 güven ifadesi istatistikte en yanlış okunanlardan biridir, o yüzden en baştan doğru anlayalım.

%95, aralığı değil yöntemi betimler. Çalışmanızı tekrar tekrar yürüttüğünüzü hayal edin - her seferinde yeni örneklem, yeni aralık. Aralıklar oradan oraya zıplar ve yaklaşık %95'i gerçek değeri yakalardı; %5'i ıskalardı. Elinizdeki tek gerçek aralık, o süreçten tek bir çekilişidir. %95'in ifade etmediği şey: "gerçek ortalamanın bu sayıların içinde olma olasılığı %95." Gerçek ortalama sabit (bilinmeyen) bir sayıdır - aralıkların içine girip çıkarak gezinmez; değişen şey aralıklardır.

Pratikte dostane okuma gayet uygundur: aralık, verinizle uyumlu değerler aralığıdır. Yalnızca biri üstelediğinde hangi iddiada bulunmaya yetkiniz olduğunu bilin.

Bir Ortalama İçin GA, Kolay Yol

Her t.test() bir güven aralığı taşır; testi yalnızca onu toplamak için çalıştırabilirsiniz:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

result <- t.test(times)
print(result$conf.int)
print(result$estimate)

Ortalama 5.61, %95 GA kabaca 5.29 ile 5.93. Aralık, yalın bir ortalamanın yapamayacağı işi yapar: on gözlemin size gerçekte ne kadar hassasiyet kazandırdığını gösterir.

Aynı GA'yı Elle

O aralığın arkasındaki formülü bir kez kurmaya değer, çünkü okuyacağınız her GA'nın gizemini çözer: tahmin ± kritik değer × standart hata.

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

n <- length(times)
m <- mean(times)
se <- sd(times) / sqrt(n)          # standard error of the mean
t_crit <- qt(0.975, df = n - 1)    # t critical value, 2.5% in each tail

margin <- t_crit * se
print(t_crit)
print(margin)
print(c(m - margin, m + margin))

Onu t.test() çıktısıyla eşleştirin - son basamağa kadar aynı aralık. Üç hareketli parça:

• Standart hata sd(x)/sqrt(n), örneklem ortalamasının ne kadar oynadığını ölçer (sd ile SE ayrımı için bkz. betimleyici istatistik).
• qt(0.975, df) t kritik değeridir: %95 kapsama için her kuyrukta %2,5 bırakırsınız, dolayısıyla 0.975. df = 9 ile yaklaşık 2.26'dır - normalin 1.96 değerinden şişmandır; sd değerini aynı veriden tahmin etmenin küçük örneklem vergisi.
• Hata payı ikisinin çarpımıdır - manşetlerin alıntıladığı "±" sayısı.

Düzeyi Değiştirmek: %90, %99 ve Ödünleşim

conf.level kapsamayı, onunla birlikte genişliği denetler:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

print(t.test(times, conf.level = 0.90)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.95)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.99)$conf.int)

Daha fazla güven daha fazla genişliğe mal olur - %99'luk bir aralık, yüzde 99 kez haklı olacak kadar geniş olmak zorundadır, dolayısıyla uzar; %90'lık bir aralık daha dardır ama %95'in iki katı sıklıkta ıskalar. Bedava öğle yemeği yoktur, yalnızca bir ayar düğmesi vardır. %95 saf gelenektir: bir nedeniniz olmadıkça korunmaya değer bir varsayılan, bir doğa yasası değil.

Bir Oran İçin GA: prop.test()

Diyelim ki ankete katılan 120 kullanıcının 47'si yeni bir özelliği benimsedi. Gerçek benimseme oranı için makul aralık nedir?

result <- prop.test(47, 120)
print(result$estimate)
print(result$conf.int)

Örneklem oranı 0.39, %95 GA kabaca 0.30 ile 0.49 - yani "yaklaşık %40 benimseme" ifadesi ancak o ±9 puanlık haleyle birlikte dürüsttür. prop.test(), ders kitabındaki p ± 1.96 × sqrt(p(1−p)/n) formülünden daha iyi bir yaklaşım kullanır (süreklilik düzeltmeli Wilson tipi bir aralıktır) ve bu en çok 0 ya da 1'e yakın yerlerde önemlidir - ders kitabı aralığı [0, 1] dışına taşabilir; bu taşamaz. Çok küçük sayımlar için binom.test(47, 120)$conf.int tam sürümü verir.

Model Katsayıları İçin GA'lar: confint()

Uydurulmuş modeller aralıklarını tek bir genel fonksiyondan alır:

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
print(confint(fit))
print(confint(fit, level = 0.99))

Her satır doğrusal regresyonun bir katsayısını parantez içine alır: wt eğiminin %95 aralığı, 1000 libre başına yaklaşık −6.5 ile −4.2 mpg arasında uzanır. Bu, özetin p değerinden daha bilgilendiricidir - etkinin yalnızca sıfırdan farklı değil, en az ~4 mpg ve muhtemelen ~6.5 olduğunu söyler.

Lojistik bir glm() için confint(fit) aynı şekilde çalışır ama log-odds sınırları döndürür; odds oranı aralıkları için üs alın - exp(confint(fit)) - ve "etki yok" referans değerinin 0 yerine 1 olduğunu unutmayın.

Örneklem Büyüklüğü: Karekök Yasası

Genişlik sqrt(n) ile küçülür ve bunun akılda kalıcı bir sonucu vardır: veriyi dört katına çıkarın, aralık yarıya iner. Simüle veriyle bunu izleyin - aynı dağılım, biri 4× büyüklükte iki örneklem (tohumlama bunu yeniden üretilebilir kılar; bkz. rastgele sayılar):

set.seed(42)
small <- rnorm(50, mean = 100, sd = 15)
large <- rnorm(200, mean = 100, sd = 15)   # 4 times the n

ci_small <- t.test(small)$conf.int
ci_large <- t.test(large)$conf.int

print(diff(ci_small))   # width with n = 50
print(diff(ci_large))   # width with n = 200 - about half

Genişlikler 2:1 oranına yakın düşer (örnekleme gürültüsü tam olmasını engeller). Karekök, hassasiyetin neden pahalılaştığını açıklar: ilk 100 gözlem size sonraki 300'ün toplamından daha fazla daralma kazandırır ve zaten dar olan bir aralığı yarıya indirmek her zaman şimdiye kadar ödediğinizin 4 katına mal olur.

GA ve P Değeri: Tek Testin İki Görünümü

Bir güven aralığı ile bir hipotez testi, farklı kılıklardaki aynı bilgidir. %95 GA, 0,05 düzeyinde iki yönlü bir testin reddetmeyeceği parametre değerlerini tam olarak içerir. Yani:

• Bir ortalama farkı için GA 0'ı dışlıyorsa ⇔ t-testi p < 0,05 der.
• Bir odds oranı için GA 1'i dışlıyorsa ⇔ katsayının p değeri < 0,05'tir.

Aralık elinizdeyken genellikle daha iyi özet de elinizdedir: aynı anlamlılık hükmünü artı etkinin gerçek birimlerdeki büyüklüğünü verir. "p = 0.03" bir farkın var olduğunu söyler; "%95 GA: 0.2 ile 7.6" ise var olduğunu ve önemsiz de devasa da olabileceğini söyler - çoğu zaman asıl önemli bulgu budur.

Buradan Ne Çıkarıyorsunuz

• %95, yöntemin uzun vadeli isabet oranını betimler, bu tek aralığın gerçeği yakalama olasılığını değil.
• Ortalama: t.test(x)$conf.int ya da elle ortalama ± qt(0.975, n−1) × SE.
• Oran: prop.test(x, n)$conf.int; model katsayıları: confint(fit) (glm odds oranları için üs alın).
• Daha yüksek güven = daha geniş aralık; %95 gelenektir, yasa değil.
• Genişlik sqrt(n) ile küçülür: 4× veri aralığı yarıya indirir.
• GA, 0,05 düzeyindeki bir testin reddetmeyeceği her değeri içerir - ve p değerinin aksine etki büyüklüğünü gösterir.

Sırada: bütün bunların arkasındaki simülasyon takımı - rnorm, runif, sample ve set.seed ile rastgele sayılar.