Introduction

Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung, bei der nur ganzzahlige Lösungen zulässig sind.

3x+5y=1 hat viele Lösungen. Eine der Lösungen ist: x₀=2, y₀=-1. Weitere Lösungen können gefunden werden, indem man Fünfen zu x₀ addiert und Dreien von y₀ subtrahiert. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 hat keine ganzzahligen Lösungen, da die linke Seite für jede Wahl von ganzen Zahlen gerade ist und die rechte Seite immer ungerade ist.

9x+12y=4 hat keine ganzzahligen Lösungen, da die linke Seite durch 3 teilbar ist und die rechte Seite nicht.

Im Allgemeinen benötigt man möglicherweise einen speziellen Computercode, um eine gegebene diophantische Gleichung zu lösen.

Dreiecks- und Sechseckszahlen werden durch die folgenden Formeln erzeugt:

• Dreieck -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Sechseck - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Wir sehen, dass T₁=H₁,  T₃=H₂ und T₅=H₃.

Wann ist eine Sechseckszahl gleich einer Dreieckszahl?

Wir beginnen mit der Annahme, dass t gerade ist, also schreiben wir: t=2t₀.

Somit müssen wir lösen:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => Klammern auflösen
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => dividieren
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
diese Gleichung hat KEINE ganzzahligen Lösungen.
Also muss es ungerade sein.

Nehmen wir nun an, t = 2t₁-1. Somit müssen wir lösen:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => Klammern auflösen
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Also, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Und das ist die endgültige Antwort.