Introduction

디오판토스 방정식은 정수 해만 허용되는 방정식입니다.

3x+5y=1은 많은 해를 가집니다. 그중 하나는 x₀=2, y₀=-1입니다. 다른 해들은 x₀에 5를 더하고 y₀에서 3을 빼서 찾을 수 있습니다. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1은 정수 해를 가지지 않는데, 어떤 정수를 선택하더라도 좌변은 짝수이고 우변은 항상 홀수이기 때문입니다.

9x+12y=4는 정수 해를 가지지 않는데, 좌변은 3으로 나누어떨어지지만 우변은 그렇지 않기 때문입니다.

일반적으로, 주어진 디오판토스 방정식을 풀기 위해 특별한 컴퓨터 코드가 필요할 수 있습니다.

삼각수와 육각수는 다음 공식에 의해 생성됩니다:

• 삼각수 -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• 육각수 - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

T₁=H₁,  T₃=H₂ 그리고 T₅=H₃임을 알 수 있습니다.

언제 육각수가 삼각수와 같아질까요?

먼저 t가 짝수라고 가정하고, t=2t₀라고 씁니다.

따라서, 다음을 풀어야 합니다:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => 괄호를 풉니다
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => 나눕니다
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
이 방정식은 정수 해를 가지지 않습니다.
따라서, t는 반드시 홀수여야 합니다.

이제 t = 2t₁-1이라고 가정합니다. 따라서, 다음을 풀어야 합니다:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => 괄호를 풉니다
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

즉, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

이것이 최종 답입니다.