פחמן 14 אחרי שלושה זמני מחצית חיים
plain
N₀ = 100, t = 17,190 yr, t½ = 5,730 yrt/t½ = 17,190 / 5,730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12.5. מתחילים ב-100 g ונשארים 12.5 g; מתחילים ב-100% ונשארים 12.5%.
מחשבון זמן מחצית חיים
הכמות שנשארת אחרי דעיכה רדיואקטיבית, הזמן שזה לקח, או זמן מחצית החיים.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס הפיזיקה של Coddy מלמד את השיטה: פותרים כל שאלה בשלבים על לוח אינטראקטיבי, והוא אומר לכם באיזה שלב הייתה הטעות.
נוסחת זמן מחצית החיים, ומה היא אומרת
דגימה רדיואקטיבית דועכת בקצב שנקבע לפי זמן מחצית החיים שלה, t½: הזמן שלוקח למחצית מהאטומים לדעוך. לא משנה באיזו כמות מתחילים, אחרי זמן מחצית חיים אחד נשאר חצי, אחרי שניים רבע, אחרי שלושה שמינית. הנוסחה היא N = N₀(½)^(t/t½), כאשר N₀ היא הכמות ההתחלתית, N הכמות שנשארה ו-t הזמן שעבר.
המעריך t/t½ סופר כמה זמני מחצית חיים עברו, והוא לא חייב להיות מספר שלם. כדי לחזור לאחור אל הזמן, לוקחים לוגריתם בבסיס 2: t = t½ · log₂(N₀/N). אם 80 g הפכו ל-10 g, אז N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, ולכן עברו שלושה זמני מחצית חיים. זמן מחצית החיים לא תלוי בכמות: גרם אחד וטונה של יוד 131 נחצים שניהם תוך 8.02 ימים.
המחשבון פותר את הנוסחה עבור הגודל שתשאירו ריק מבין הארבעה: הכמות שנשארה, הכמות ההתחלתית, הזמן או זמן מחצית החיים. שתי הכמויות יכולות להיות בכל יחידה, גרמים, אטומים, אחוזים או בקרל של אקטיביות, כל עוד שתיהן באותה יחידה. הזמנים יכולים להיות בשניות, דקות, שעות, ימים או שנים (שנה כאן היא 365.25 ימים), והזמן וזמן מחצית החיים יכולים להיות ביחידות שונות: שניהם מומרים קודם לשניות, והתשובה ניתנת ביחידה שבחרתם וגם באחרות.
למה לשים לב
- אחרי 1, 2, 3, 4 ו-5 זמני מחצית חיים החלק שנשאר הוא 50%, 25%, 12.5%, 6.25% ו-3.125%. כל זמן מחצית חיים חוצה את מה שנשאר, לא את מה שהיה בהתחלה.
- לפי הנוסחה, הדעיכה אף פעם לא מגיעה בדיוק לאפס. אחרי 10 זמני מחצית חיים נשאר בערך 0.1%; אחרי 20, בערך מיליונית.
- הכמויות מופיעות רק כיחס, N₀/N, ולכן היחידה שלהן מצטמצמת. מסה, מספר אטומים, אחוזים ואקטיביות בבקרל, כולם עובדים, אם שתי הכמויות באותה יחידה.
- הזמן וזמן מחצית החיים חייבים להיות באותה יחידה לפני שמחלקים אותם. 24 שעות וזמן מחצית חיים של 6.01 שעות נותנים 24 / 6.01 = 3.99 זמני מחצית חיים.
- קבוע הדעיכה הוא λ = ln 2 / t½, החלק שדועך ליחידת זמן. N = N₀e^(−λt) הוא אותו חוק, כתוב עם e במקום ½.
איך פותרים שאלות על זמן מחצית חיים
כתבו את מה שידוע
שלושה מתוך הארבעה: הכמות ההתחלתית N₀, הכמות שנשארה N, הזמן t וזמן מחצית החיים t½.
העבירו את הזמן ואת זמן מחצית החיים לאותה יחידה
שעות עם שעות, שנים עם שנים. יומיים הם 48 שעות; שנה היא 365.25 ימים.
לכמות שנשארה, העלו את ½ בחזקת t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g של פחמן 14 אחרי 17,190 שנה: 17,190 / 5,730 = 3, ו-100 · (½)³ = 12.5 g.
לזמן, קחו לוגריתם בבסיס 2
t = t½ · log₂(N₀/N). מ-100% ל-25% זה log₂ 4 = 2 זמני מחצית חיים; בפחמן 14 זה 2 · 5,730 = 11,460 שנה. במחשבון כיס בלי log₂, השתמשו ב-log₂ x = ln x / ln 2.
זמני מחצית חיים של איזוטופים מוכרים
ערכים מקובלים, מעוגלים. הם נעים מדקות ועד מיליארדי שנים, ולכן המחשבון מקבל זמנים משניות ועד שנים.
| איזוטופ | זמן מחצית חיים | איפה פוגשים אותו |
|---|---|---|
| פלואור 18 | 110 דקות | סריקות PET |
| טכנציום 99m | 6.01 שעות | הסמן הנפוץ ביותר בסריקות רפואיות |
| ראדון 222 | 3.82 ימים | גז שמחלחל מסלעים למרתפים |
| יוד 131 | 8.02 ימים | טיפול בבלוטת התריס |
| פולוניום 210 | 138 ימים | מקורות אלפא |
| קובלט 60 | 5.27 שנים | הקרנות, עיקור ציוד רפואי |
| מימן 3 (טריטיום) | 12.3 שנים | שלטי יציאה זוהרים ולוחות שעונים |
| צזיום 137 | 30.1 שנים | נשורת מצ'רנוביל ומפוקושימה |
| רדיום 226 | 1,600 שנה | צבע זוהר ישן |
| פחמן 14 | 5,730 שנה | תיארוך פחמן רדיואקטיבי |
| פלוטוניום 239 | 24,100 שנה | כורים גרעיניים |
| אורניום 235 | 704 מיליון שנה | דלק גרעיני |
| אשלגן 40 | 1.25 מיליארד שנה | בננות, גוף האדם, תיארוך סלעים |
| אורניום 238 | 4.47 מיליארד שנה | תיארוך הסלעים העתיקים ביותר בכדור הארץ |
דוגמאות פתורות
זמן מחצית החיים משתי מדידות
plain
N₀ = 80, N = 10, t = 24 dמחלצים את זמן מחצית החיים: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 ימים. זה קרוב ל-8.02 הימים של יוד 131. קבעו את תיבת זמן מחצית החיים לימים והתשובה תהיה 8; היא ניתנת גם בשניות, בשעות ובשנים.
כמה זמן עד שנשאר רבע
plain
N₀ = 1, N = 0.25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 ימים. רבע זה שתי חציות, ולכן הזמן הוא שני זמני מחצית חיים.
סמן רפואי אחרי יום
plain
N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6.01 hטכנציום 99m: t/t½ = 24 / 6.01 = 3.993 זמני מחצית חיים, לא מספר שלם, וזה בסדר. N = 100 · (½)^3.993 = 6.28, ולכן אחרי יום נשארים 6.28% מהמנה.
תיארוך פחמן
plain
N₀ = 100, N = 25, t½ = 5,730 yrעצם שיש בה 25% מהפחמן 14 שיש ברקמה חיה: t = 5,730 · log₂(100 / 25) = 5,730 · 2 = 11,460 שנה.
טעויות נפוצות
- לחשוב שהכול נעלם אחרי שני זמני מחצית חיים. חצי נעלם בראשון, ואז חצי ממה שנשאר: אחרי שניים נשארים 25%, ואחרי שלושה 12.5%.
- לחסר במקום לחצות. אחרי כל זמן מחצית חיים הכמות מוכפלת ב-½; היא לא יורדת באותו סכום בכל פעם.
- לחלק את הזמן בזמן מחצית החיים כשהם ביחידות שונות. 24 שעות חלקי זמן מחצית חיים של 8.02 ימים צריכים להפוך קודם ליום אחד חלקי 8.02 ימים.
- להשתמש ביחידות שונות לשתי הכמויות. N בגרמים ו-N₀ באחוזים נותנים יחס חסר משמעות; שתיהן חייבות להיות בגרמים, שתיהן באטומים או שתיהן באחוזים.
- לקחת ln או log₁₀ של N₀/N ולשכוח לחלק ב-ln 2 או ב-log₁₀ 2. הזמן הוא t½ · log₂(N₀/N), ו-log₂ x = ln x / ln 2.
- להחליף בין N ל-N₀. הכמות ההתחלתית היא הגדולה יותר; N₀/N גדול מ-1 לכל דבר שדעך.
שאלות נפוצות על זמן מחצית חיים
מהי נוסחת זמן מחצית החיים?
N = N₀(½)^(t/t½), כאשר N₀ היא הכמות ההתחלתית, N הכמות שנשארה אחרי זמן t, ו-t½ זמן מחצית החיים. המעריך t/t½ הוא מספר זמני מחצית החיים שעברו.
איך מחשבים זמן מחצית חיים?
מודדים את הכמות בהתחלה ואחרי זמן ידוע, ואז משתמשים ב-t½ = t / log₂(N₀/N). אם 80 יחידות יורדות ל-10 תוך 24 ימים, log₂ 8 = 3, ולכן זמן מחצית החיים הוא 24 / 3 = 8 ימים.
איך מוצאים את הזמן מזמן מחצית החיים?
משתמשים ב-t = t½ · log₂(N₀/N). הלוגריתם סופר את החציות: מ-100% ל-12.5% זה log₂ 8 = 3 זמני מחצית חיים, ולכן לזמן מחצית חיים של 5,730 שנה הזמן הוא 17,190 שנה.
כמה נשאר אחרי 3 זמני מחצית חיים?
שמינית, 12.5%. כל זמן מחצית חיים חוצה את מה שנשאר: 50% אחרי אחד, 25% אחרי שניים, 12.5% אחרי שלושה, 6.25% אחרי ארבעה ו-3.125% אחרי חמישה.
אפשר להשתמש בגרמים, באטומים או באחוזים לכמויות?
כן. הנוסחה משתמשת רק ביחס בין שתי הכמויות, ולכן כל יחידה עובדת כל עוד הכמות שנשארה והכמות ההתחלתית באותה יחידה. גם אקטיביות בבקרל עובדת, כי היא יורדת עם אותו זמן מחצית חיים.
מהו קבוע הדעיכה?
קבוע הדעיכה λ הוא החלק מהאטומים שדועך ליחידת זמן, ו-λ = ln 2 / t½. בפחמן 14 הוא 0.693 / 5,730 = 1.21 × 10⁻⁴ לשנה. אז אפשר לכתוב את החוק כ-N = N₀e^(−λt).
איך תיארוך פחמן משתמש בזמן מחצית חיים?
יצורים חיים קולטים פחמן 14 ושומרים על אותו חלק ממנו כמו באוויר. כשהם מתים, הוא דועך עם זמן מחצית חיים של 5,730 שנה. מודדים את החלק שנשאר, ו-t = 5,730 · log₂(N₀/N) נותן את הגיל: 25% שנשארו פירושם 11,460 שנה.
