简介

丢番图方程是只允许整数解的方程。

3x+5y=1 有许多解。其中一个解是：x₀=2, y₀=-1。其他解可以通过给 x₀ 加上 5，并从 y₀ 中减去 3 得到。(x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 没有整数解，因为无论整数怎么取，左边都是偶数，而右边始终是奇数。

9x+12y=4 没有整数解，因为左边能被 3 整除，而右边不能。

一般来说，求解给定的丢番图方程可能需要专门的计算机代码。

三角形数和六边形数由以下公式生成：

• 三角形数 -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• 六边形数 - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

我们可以看到，T₁=H₁， T₃=H₂，T₅=H₃。

什么时候一个六边形数会等于一个三角形数？

我们先假设 t 是偶数，因此设 t=2t₀。

于是，我们需要求解：
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => 展开括号
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => 两边相除
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
这个方程没有整数解。
所以，t 必须是奇数。

现在假设 t = 2t₁-1。因此，我们需要求解：
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => 展开括号
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h。

所以，t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h。

这就是最终答案。