قوة التجاذب بين كتلتين، من قانون نيوتن للجذب العام.
آخر تحديث
دورة الفيزياء في Coddy تعلّمك الطريقة: تحلّ كل مسألة خطوة بخطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك أي خطوة أخطأت فيها.
كل كتلة تجذب كل كتلة أخرى. ويعطي قانون نيوتن للجذب العام مقدار هذا الجذب: F = Gm₁m₂/r²، حيث m₁ وm₂ الكتلتان بالكيلوغرام، وr المسافة بين مركزيهما بالمتر، وG ثابت الجذب العام، 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². والقوة بالنيوتن وتؤثر في الكتلتين بالتساوي، كل منهما نحو الأخرى.
G صغير جداً، فالجذب بين الأجسام اليومية أضعف من أن يُحَسّ: شخصان كتلة كل منهما 70 kg تفصل بينهما 1 m يتجاذبان بنحو 3.3 × 10⁻⁷ N. ويحتاج الأمر إلى كتلة كوكب لتنتج قوة تلاحظها. والمسافة مربّعة، وهذا يجعل القانون قانون تربيع عكسي: ضاعف المسافة تنخفض القوة إلى الربع، واجعلها ثلاثة أضعاف تنخفض إلى التسع.
تحلّ الحاسبة القانون لأيّ من F وm₁ وm₂ وr تتركه فارغاً. ويمكن إعطاء الكتل بالكيلوغرام أو بالطن أو بكتل الأرض (M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg) أو بالكتل الشمسية (M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg)، والمسافات بالمتر أو بالكيلومتر أو بالوحدة الفلكية (1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m). وكل منها يُحوَّل إلى SI أولاً، في خطوة مستقلة، فيمكنك كتابة كتلة أرض واحدة و6371 km بدل قوى العشرة.
كتلة الأرض الواحدة 5.9722 × 10²⁴ kg، والكتلة الشمسية الواحدة 1.98847 × 10³⁰ kg، والطن الواحد 1000 kg. وفي الحاسبة يمكنك اختيار هذه الوحدات بدلاً من ذلك.
الكيلومترات اضربها في 1000؛ و1 AU تساوي 1.495978707 × 10¹¹ m. ولجسم على سطح كوكب، استخدم نصف قطر الكوكب؛ وفوقه، أضف الارتفاع إلى نصف القطر.
F = G · m₁ · m₂ / r². اضرب G في الكتلتين، ثم اقسم على r². للأرض وشخص كتلته 70 kg: 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N.
القوى الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً تخرج بقوى العشرة. والجذب بين الشمس والأرض نحو 3.54 × 10²² N.
قيم من F = Gm₁m₂/r² مع G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²، مقرّبة. كل مسافة من المركز إلى المركز؛ وكتلة الشخص 70 kg.
| الزوج | الكتلتان | المسافة r | القوة |
|---|---|---|---|
| كتلتان كل منهما 1 kg | 1 kg و1 kg | 1 m | 6.67 × 10⁻¹¹ N |
| شخصان | 70 kg و70 kg | 1 m | 3.27 × 10⁻⁷ N |
| شخص والقمر فوق رأسه | 70 kg و7.342 × 10²² kg | 378 029 km | 0.0024 N |
| شخص والشمس | 70 kg و1 M☉ | 1 AU | 0.415 N |
| شخص والأرض، على سطحها | 70 kg و1 M⊕ | 6371 km | 687 N |
| شخص والأرض، على ارتفاع محطة الفضاء الدولية | 70 kg و1 M⊕ | 6771 km | 609 N |
| الأرض والقمر | 1 M⊕ و7.342 × 10²² kg | 384 400 km | 1.98 × 10²⁰ N |
| الشمس والأرض | 1 M☉ و1 M⊕ | 1 AU | 3.54 × 10²² N |
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, r = 6371 kmحوّل أولاً: 1 M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg و6371 km = 6.371 × 10⁶ m. F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N. وهذا هو وزن الشخص: 70 · 9.81 = 686.7 N، القيمة نفسها مع فرق التقريب.
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 7.342 × 10²² kg, r = 384 400 kmمع r = 3.844 × 10⁸ m، F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 7.342 × 10²² / (3.844 × 10⁸)² = 1.98 × 10²⁰ N. هذا الجذب يُبقي القمر في مداره، وجذب القمر للأرض، بالمقدار نفسه، يرفع المدّ.
m₁ = 1 M☉, m₂ = 1 M⊕, r = 1 AU1 M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg و1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m. F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 1.98847 × 10³⁰ · 5.9722 × 10²⁴ / (1.496 × 10¹¹)² = 3.54 × 10²² N.
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, F = 171.86 Nاترك r فارغة. r = √(Gm₁m₂/F) = √(6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / 171.86) = 1.274 × 10⁷ m، أي نحو 12 742 km: نصفا قطر للأرض. ربع جذب الـ 687 N عند السطح، على ضعف المسافة من المركز.
m₁ = 70 kg, m₂ = 70 kg, r = 1 mF = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² = 3.27 × 10⁻⁷ N، أي وزن ذرّة غبار كتلتها نحو 0.03 mg. الجاذبية بين الأجسام العادية حقيقية لكنها أضعف بكثير من أن تُلاحَظ.
F = Gm₁m₂/r²، قانون نيوتن للجذب العام. m₁ وm₂ الكتلتان بالكيلوغرام، وr المسافة بين مركزيهما بالمتر، وG = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². والقوة تخرج بالنيوتن.
G هو الثابت الذي يحدّد شدة الجاذبية في كل مكان: 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²، وهي قيمة CODATA التي تستخدمها الحاسبة. وهو القوة بالنيوتن بين كتلتين كل منهما 1 kg تفصل بينهما 1 m.
أعد ترتيب القانون: r = √(Gm₁m₂/F). اضرب G في الكتلتين، واقسم على القوة، ثم خذ الجذر التربيعي. والجواب هو المسافة بين المركزين.
أعد الترتيب لإيجاد الكتلة المجهولة: m₁ = Fr² / (Gm₂). اضرب القوة في مربّع المسافة، ثم اقسم على G مضروباً في الكتلة الأخرى. اترك خانة تلك الكتلة فارغة فتقوم الحاسبة بذلك.
الكوكب أو النجم الكروي يجذب كأن كتلته كلها في مركزه. فلجسم على الأرض أو فوقها، r هي نصف قطر الأرض، 6371 km، مضافاً إليه الارتفاع عن الأرض.
القوة تتناقص مع مربّع المسافة، لأن r مربّعة في القانون. ضاعف المسافة تصبح القوة الربع؛ واجعلها ثلاثة أضعاف تصبح التسع.
نعم، وزنك هو قوة جذب الأرض لك. وقرب السطح يكون استخدام W = mg أبسط، ويعطي الجواب نفسه: 70 kg في 9.81 m/s² تساوي 687 N، وكذلك G في كتلة الأرض في 70 kg على مربّع نصف القطر.
لأن G صغير جداً. شخصان كتلة كل منهما 70 kg تفصل بينهما 1 m يتجاذبان بنحو 3.3 × 10⁻⁷ N. ويلزم جسم بكتلة كوكب لينتج قوة كبيرة بما يكفي ليُحَسّ بها.
