حاسبة عمر النصف

قانون عمر النصف، وماذا يقول

تضمحلّ العيّنة المشعّة بمعدّل يحدّده عمر النصف لها، t½: الزمن اللازم لاضمحلال نصف ذرّاتها. وأياً كانت الكمية التي تبدأ بها، يبقى النصف بعد عمر نصف واحد، والربع بعد اثنين، والثُّمن بعد ثلاثة. والقانون هو N = N₀(½)^(t/t½)، حيث N₀ الكمية الابتدائية، وN الكمية المتبقية، وt الزمن المنقضي.

الأسّ t/t½ يعدّ كم عمر نصف انقضى، ولا يلزم أن يكون عدداً صحيحاً. وللرجوع إلى الزمن، خذ لوغاريتماً للأساس 2: t = t½ · log₂(N₀/N). فإذا أصبحت 80 g عشرة غرامات، فإن N₀/N = 8، وlog₂ 8 = 3، أي انقضت ثلاثة أعمار نصف. وعمر النصف لا يعتمد على الكمية التي لديك: غرام وطن من اليود 131 يتنصّفان كلاهما في 8.02 يوم.

تحلّ الحاسبة القانون لأيّ من الأربعة تتركه فارغاً: الكمية المتبقية، أو الكمية الابتدائية، أو الزمن، أو عمر النصف. ويمكن أن تكون الكميتان بأي وحدة، غرامات أو ذرّات أو نسبة مئوية أو نشاطاً بالبكريل، ما دامت الاثنتان بالوحدة نفسها. ويمكن أن تكون الأزمنة بالثواني أو الدقائق أو الساعات أو الأيام أو السنوات (السنة هنا 365.25 يوم)، وقد يستخدم الزمن وعمر النصف وحدتين مختلفتين: فكلاهما يُحوَّل إلى الثواني أولاً، ويُعطى الجواب بالوحدة التي تختارها وبالوحدات الأخرى.

ما ينبغي ملاحظته

• بعد 1 و2 و3 و4 و5 أعمار نصف يكون الجزء المتبقي 50% و25% و12.5% و6.25% و3.125%. كل عمر نصف ينصّف ما تبقّى، لا ما بدأت به.
• في القانون لا يصل الاضمحلال إلى الصفر تماماً. بعد 10 أعمار نصف يبقى نحو 0.1%؛ وبعد 20، نحو جزء من مليون.
• الكميتان لا تظهران إلا كنسبة، N₀/N، فتُختصر وحدتهما. الكتلة وعدد الذرّات والنسبة المئوية والنشاط بالبكريل كلها تصلح، إذا استخدمت الكميتان الوحدة نفسها.
• يجب أن يكون الزمن وعمر النصف بالوحدة نفسها قبل قسمة أحدهما على الآخر. 24 ساعة وعمر نصف 6.01 ساعة يعطيان 24 / 6.01 = 3.99 عمر نصف.
• ثابت الاضمحلال λ = ln 2 / t½، وهو الجزء الذي يضمحلّ في وحدة الزمن. وN = N₀e^(−λt) هو القانون نفسه مكتوباً بـ e بدل ½.

كيف تحلّ مسائل عمر النصف

1. 1

   اكتب ما تعرفه

   ثلاثة من الأربعة: الكمية الابتدائية N₀، والكمية المتبقية N، والزمن t، وعمر النصف t½.

2. 2

   اكتب الزمن وعمر النصف بالوحدة نفسها

   ساعات مع ساعات، وسنوات مع سنوات. يومان يساويان 48 ساعة؛ والسنة 365.25 يوم.

3. 3

   للكمية المتبقية، ارفع ½ إلى القوة t/t½

   N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g من الكربون 14 بعد 17 190 سنة: 17 190 / 5730 = 3، و100 · (½)³ = 12.5 g.

4. 4

   للزمن، خذ لوغاريتماً للأساس 2

   t = t½ · log₂(N₀/N). من 100% إلى 25% يعني log₂ 4 = 2 عمر نصف؛ وللكربون 14 يساوي ذلك 2 · 5730 = 11 460 سنة. وعلى آلة حاسبة بلا log₂، استخدم log₂ x = ln x / ln 2.

أعمار النصف لنظائر معروفة

قيم معيارية مقرّبة. وهي تمتد من دقائق إلى مليارات السنين، ولهذا تقبل الحاسبة أزمنة من الثواني إلى السنوات.

أمثلة محلولة

N₀ = 100, t = 17190 yr, t½ = 5730 yr

N₀ = 80, N = 10, t = 24 d

N₀ = 1, N = 0.25, t½ = 8 d

N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6.01 h

N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 yr

أخطاء شائعة

• الظن أن كل شيء يختفي بعد عمرَي نصف. يذهب النصف في الأول، ثم نصف ما تبقّى: يبقى 25% بعد اثنين، و12.5% بعد ثلاثة.
• الطرح بدل التنصيف. بعد كل عمر نصف تُضرب الكمية في ½؛ ولا تنقص بالمقدار نفسه كل مرة.
• قسمة الزمن على عمر النصف وهما بوحدتين مختلفتين. 24 ساعة على عمر نصف 8.02 يوم يجب أن تصبح أولاً يوماً واحداً على 8.02 يوم.
• استخدام وحدتين مختلفتين للكميتين. N بالغرام وN₀ بالنسبة المئوية تعطيان نسبة بلا معنى؛ يجب أن تكون الاثنتان بالغرام، أو بالذرّات، أو بالنسبة المئوية.
• أخذ ln أو log₁₀ للنسبة N₀/N ونسيان القسمة على ln 2 أو log₁₀ 2. الزمن t½ · log₂(N₀/N)، وlog₂ x = ln x / ln 2.
• تبديل N وN₀. الكمية الابتدائية هي الأكبر؛ وN₀/N أكبر من 1 لأي شيء اضمحلّ.

أسئلة شائعة عن عمر النصف