نغمة لا (A) عند 440 Hz
plain
أي موجة: v = 343 m/s, f = 440 Hzλ = v/f = 343 / 440 = 0.780 m، أي نحو 78 cm. وأخفض نغمة يسمعها الإنسان، 20 Hz، طولها 343 / 20 = 17.15 m؛ وأعلاها، 20 kHz، طولها 1.7 cm فقط.
حاسبة الطول الموجي
الطول الموجي والتردد وسرعة الموجة، وطاقة فوتون الضوء.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الفيزياء في Coddy تعلّمك الطريقة: تحلّ كل مسألة خطوة بخطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك أي خطوة أخطأت فيها.
قانون سرعة الموجة، وماذا يقول
كل موجة، صوتاً كانت أو ماءً أو ضوءاً، تخضع للقانون نفسه: v = fλ. التردد f هو عدد الموجات التي تمرّ بنقطة كل ثانية، بالهرتز؛ والطول الموجي λ هو المسافة من قمة إلى القمة التالية، بالمتر؛ وv هي سرعة انتشار الموجة، بالمتر لكل ثانية. ينتقل الصوت في الهواء بنحو 343 m/s عند 20 °C، فنغمة 440 Hz طولها الموجي 343 / 440 = 0.78 m.
عند سرعة موجة ثابتة، يتبادل التردد والطول الموجي: ضاعف التردد يتنصّف الطول الموجي. والضوء في الفراغ ينتقل دائماً بسرعة c = 299 792 458 m/s، فيحوّل c = fλ أي طول موجي إلى تردد. والضوء يأتي أيضاً على شكل فوتونات، كل منها يحمل طاقة E = hf، حيث h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ثابت بلانك. فالتردد الأعلى، أي الطول الموجي الأقصر، يعني طاقة أكبر لكل فوتون.
في الحاسبة تبويبان. تبويب أي موجة يحلّ v = fλ: أعطِ اثنتين من السرعة والتردد والطول الموجي فيجد الثالثة. وتبويب الضوء يحتاج إلى قيمة واحدة فقط: أعطِ طولاً موجياً أو تردداً أو طاقة فوتون فيجد الأخريين من c = fλ وE = hf. والنانومترات والميكرومترات، ومن الكيلوهرتز إلى التيراهرتز، والإلكترون فولت تُحوَّل إلى SI أولاً، في خطوة مستقلة، ويُعطى كل جواب بالوحدات الأخرى أيضاً.
ما ينبغي ملاحظته
- v = fλ تعطي المتر لكل ثانية فقط حين يكون f بالهرتز وλ بالمتر. فـ 500 nm تساوي 500 × 10⁻⁹ m، و2.4 GHz تساوي 2.4 × 10⁹ Hz.
- حين تنتقل موجة إلى وسط جديد، يبقى ترددها كما هو؛ وتتغيّر السرعة والطول الموجي. الصوت المنتقل من الهواء إلى الماء تزداد سرعته ويكبر طوله الموجي نحو أربع مرات.
- للضوء في الفراغ السرعة دائماً c، فقيمة واحدة تكفي: الطول الموجي يحدّد التردد، والتردد يحدّد طاقة الفوتون.
- طاقة الفوتون تزداد مع التردد وتقلّ مع الطول الموجي. الضوء البنفسجي يحمل طاقة لكل فوتون أكبر من الأحمر، وفوتون الأشعة السينية أكبر منهما بكثير.
- اختصار مفيد للضوء: طاقة الفوتون بالإلكترون فولت تساوي تقريباً 1240 مقسوماً على الطول الموجي بالنانومتر. فـ 620 nm تعطي 2.0 eV.
كيف تحسب الطول الموجي والتردد
أوجد سرعة الموجة
343 m/s للصوت في الهواء عند 20 °C، ونحو 1500 m/s في الماء، و299 792 458 m/s للضوء في الفراغ. والمسألة تعطيها عادة.
اكتب التردد بالهرتز والطول الموجي بالمتر
kHz اضربها في 1000، وMHz في 10⁶، وGHz في 10⁹. وnm اضربها في 10⁻⁹، وμm في 10⁻⁶. فـ 100 MHz تساوي 100 000 000 Hz.
اقسم لإيجاد ما تريده
λ = v/f للطول الموجي، وf = v/λ للتردد، وv = fλ للسرعة. 343 / 440 = 0.78 m.
للضوء، اضرب التردد في h لتحصل على الطاقة
E = hf، بالجول. اقسم على 1.602176634 × 10⁻¹⁹ لتحصل على الإلكترون فولت: 5.996 × 10¹⁴ Hz تعطي 3.973 × 10⁻¹⁹ J، أي 2.48 eV.
الطيف الكهرومغناطيسي
كل نطاق ينتقل بسرعة c في الفراغ، فيرتبط الطول الموجي والتردد معاً عبر c = fλ. والحدود بين النطاقات اصطلاحات، لا خطوط حادة؛ وهذه هي المعتادة.
| النطاق | الطول الموجي | التردد | أين تصادفه |
|---|---|---|---|
| الراديو | أطول من 1 m | أقل من 300 MHz | راديو FM عند 100 MHz، أي 3 m |
| الموجات الدقيقة (الميكروويف) | من 1 mm إلى 1 m | من 300 MHz إلى 300 GHz | Wi-Fi عند 2.4 GHz، أي 12.5 cm |
| الأشعة تحت الحمراء | من 750 nm إلى 1 mm | من 300 GHz إلى 400 THz | حرارة الأجسام الدافئة، أجهزة التحكم بالتلفاز |
| الضوء المرئي | من 380 إلى 750 nm | من 400 إلى 790 THz | الأحمر عند الطرف الطويل، والبنفسجي عند الطرف القصير |
| الأشعة فوق البنفسجية | من 10 إلى 380 nm | من 790 THz إلى 30 PHz | حروق الشمس، المصابيح فوق البنفسجية |
| الأشعة السينية | من 0.01 إلى 10 nm | من 30 PHz إلى 30 EHz | الفحوص الطبية وفحوص المطارات |
| أشعة غاما | أقصر من 0.01 nm | أعلى من 30 EHz | الاضمحلال الإشعاعي |
أمثلة محلولة
موجة طولها 3 m في الماء
plain
أي موجة: v = 1500 m/s, λ = 3 mf = v/λ = 1500 / 3 = 500 Hz. وفي الهواء يكون للصوت نفسه بتردد 500 Hz طول موجي 343 / 500 = 0.686 m: التردد يبقى، والطول الموجي يتغيّر مع السرعة.
ضوء أخضر عند 500 nm
plain
الضوء: λ = 500 nm500 nm تساوي 5 × 10⁻⁷ m. f = c/λ = 299 792 458 / (5 × 10⁻⁷) = 5.996 × 10¹⁴ Hz، أي نحو 600 THz. ثم E = hf = 6.62607015 × 10⁻³⁴ · 5.996 × 10¹⁴ = 3.973 × 10⁻¹⁹ J، أي 2.48 eV.
محطة FM عند 100 MHz
plain
الضوء: f = 100 MHzموجات الراديو ضوء أيضاً، فينطبق c = fλ. و100 MHz تساوي 10⁸ Hz، وλ = c/f = 299 792 458 / 10⁸ = 2.998 m. وكل فوتون يحمل فقط E = hf = 6.626 × 10⁻²⁶ J، أي أقل بنحو ستة ملايين مرة من فوتون الضوء الأخضر.
فوتون طاقته 2 eV
plain
الضوء: E = 2 eVحوّل أولاً: 2 eV = 2 · 1.602176634 × 10⁻¹⁹ = 3.204 × 10⁻¹⁹ J. ثم f = E/h = 4.836 × 10¹⁴ Hz، وλ = c/f = 6.199 × 10⁻⁷ m، أي 619.9 nm: الحدّ بين البرتقالي والأحمر.
أخطاء شائعة
- ترك النانومترات كما هي. 500 nm تساوي 5 × 10⁻⁷ m؛ ووضع 500 في c = fλ يعطي تردداً أصغر بمليار مرة.
- الخلط بين MHz وHz. فـ 100 MHz تساوي 100 000 000 Hz، لا 100 Hz.
- استخدام سرعة الضوء للصوت، أو 343 m/s للضوء. لكل نوع من الموجات سرعته، وهي تعتمد على الوسط الذي تنتقل فيه الموجة.
- الظن أن التردد يتغيّر حين تدخل الموجة الماء أو الزجاج. التردد يحدّده المصدر؛ والسرعة والطول الموجي هما اللذان يتغيّران.
- الخلط بين التردد والزمن الدوري. الزمن الدوري T هو زمن موجة واحدة، T = 1/f؛ وموجة 50 Hz زمنها الدوري 0.02 s.
- خلط الجول والإلكترون فولت في E = hf. مع h بوحدة J·s تخرج الطاقة بالجول؛ اقسم على 1.602176634 × 10⁻¹⁹ لتحصل على eV.
أسئلة شائعة عن الطول الموجي والتردد
ما قانون سرعة الموجة؟
v = fλ: سرعة الموجة تساوي التردد في الطول الموجي. ومع f بالهرتز وλ بالمتر، تخرج v بالمتر لكل ثانية. موجة ترددها 2 Hz وطولها 0.5 m تنتقل بسرعة 1 m/s.
كيف أحسب الطول الموجي من التردد؟
اقسم سرعة الموجة على التردد: λ = v/f. وللضوء استخدم c = 299 792 458 m/s، فيكون λ = c/f. شبكة Wi-Fi عند 2.4 GHz طولها الموجي 299 792 458 / (2.4 × 10⁹) = 0.125 m، أي نحو 12.5 cm.
كيف أحسب التردد من الطول الموجي؟
اقسم السرعة على الطول الموجي: f = v/λ، أو f = c/λ للضوء. الضوء الأحمر عند 650 nm تردده 299 792 458 / (650 × 10⁻⁹) = 4.61 × 10¹⁴ Hz، أي نحو 461 THz.
كيف أحسب طاقة الفوتون؟
E = hf، حيث h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ثابت بلانك. ومن طول موجي، اجمعه مع c = fλ: E = hc/λ. فوتون طوله الموجي 500 nm يحمل 3.97 × 10⁻¹⁹ J، أي 2.48 eV.
ما الطول الموجي لكل لون من ألوان الضوء؟
تقريباً: البنفسجي من 380 إلى 450 nm، والأزرق من 450 إلى 495 nm، والأخضر من 495 إلى 570 nm، والأصفر من 570 إلى 590 nm، والبرتقالي من 590 إلى 620 nm، والأحمر من 620 إلى 750 nm. والألوان تتداخل، فالحدود تقريبية.
ما سرعة الصوت؟
نحو 343 m/s في الهواء الجاف عند 20 °C، و331 m/s عند 0 °C؛ وهي تزداد مع درجة الحرارة. وفي الماء نحو 1500 m/s، أي أسرع بأكثر من أربع مرات، وفي المواد الصلبة أسرع من ذلك.
لماذا تساوي c بالضبط 299 792 458 m/s؟
منذ عام 1983 يُعرَّف المتر من سرعة الضوء: هو المسافة التي يقطعها الضوء في الفراغ خلال 1/299 792 458 من الثانية. فتكون c دقيقة بالتعريف، وكذلك ثابت بلانك منذ عام 2019.
