Interval kepercayaan di R: t.test(), confint(), dan prop.test()

Arti sebenarnya dari "yakin 95%"

Interval kepercayaan mengubah perkiraan titik ("rata-rata sampelnya 5,61") menjadi rentang yang jujur ("rata-rata sebenarnya kemungkinan berada di antara 5,29 dan 5,93"). Tapi frasa yakin 95% adalah salah satu yang paling sering disalahpahami dalam statistika, jadi kita luruskan sejak awal.

Angka 95% menggambarkan prosedurnya, bukan intervalnya. Bayangkan kamu menjalankan ulang penelitianmu berkali-kali, dengan sampel baru dan interval baru setiap kali. Interval-interval itu akan berpindah-pindah, dan sekitar 95% di antaranya akan menangkap nilai sebenarnya; 5% akan meleset. Satu interval yang benar-benar kamu punya hanyalah satu hasil dari proses itu. Yang bukan arti 95%: "ada peluang 95% bahwa rata-rata sebenarnya berada di dalam angka-angka ini." Rata-rata sebenarnya adalah angka yang tetap (meski tidak diketahui); ia tidak keluar masuk interval. Yang berubah-ubah adalah intervalnya.

Dalam praktik, pemahaman yang lebih santai tidak masalah: interval adalah rentang nilai yang sejalan dengan datamu. Cukup ketahui klaim mana yang boleh kamu ajukan saat seseorang mendesak.

Interval kepercayaan untuk rata-rata, cara mudahnya

Setiap t.test() membawa interval kepercayaan; kamu bisa menjalankan ujinya hanya untuk mengambil interval itu:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

result <- t.test(times)
print(result$conf.int)
print(result$estimate)

Rata-ratanya 5,61, interval kepercayaan 95% kira-kira 5,29 sampai 5,93. Interval ini melakukan apa yang tidak bisa dilakukan rata-rata saja: menunjukkan seberapa besar ketelitian yang benar-benar didapat dari sepuluh observasi.

Interval yang sama secara manual

Rumus di balik interval itu layak dibangun sekali, karena membuat setiap interval kepercayaan yang akan kamu baca jadi tidak misterius lagi: perkiraan ± nilai kritis × standard error.

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

n <- length(times)
m <- mean(times)
se <- sd(times) / sqrt(n)          # standard error of the mean
t_crit <- qt(0.975, df = n - 1)    # t critical value, 2.5% in each tail

margin <- t_crit * se
print(t_crit)
print(margin)
print(c(m - margin, m + margin))

Cocokkan dengan output t.test(): intervalnya sama sampai digit terakhir. Ada tiga bagian yang bergerak:

• Standard error sd(x)/sqrt(n) mengukur seberapa besar rata-rata sampel bergoyang (lihat statistik deskriptif untuk perbedaan sd dan SE).
• qt(0.975, df) adalah nilai kritis t: untuk cakupan 95% kamu menyisakan 2,5% di setiap ekor, maka 0,975. Dengan df = 9 nilainya sekitar 2,26, lebih besar daripada 1,96 milik distribusi normal. Itulah "pajak" sampel kecil karena sd diperkirakan dari data yang sama.
• Margin of error adalah hasil kali keduanya, yaitu angka "±" yang dikutip di berita utama.

Mengubah tingkat kepercayaan: 90%, 99%, dan trade-off-nya

conf.level mengatur cakupan, dan sekaligus lebarnya:

times <- c(5.1, 4.9, 6.2, 5.8, 5.5, 5.9, 6.1, 5.2, 5.4, 6.0)

print(t.test(times, conf.level = 0.90)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.95)$conf.int)
print(t.test(times, conf.level = 0.99)$conf.int)

Kepercayaan yang lebih tinggi menuntut lebar yang lebih besar: interval 99% harus cukup lebar agar benar 99 kali dari 100, jadi intervalnya melebar; interval 90% lebih sempit, tapi meleset dua kali lebih sering daripada 95%. Tidak ada makan siang gratis, yang ada hanya pengatur. 95% murni konvensi: default yang layak dipertahankan kecuali kamu punya alasan, bukan hukum alam.

Interval kepercayaan untuk proporsi: prop.test()

Misalkan 47 dari 120 pengguna yang disurvei memakai fitur baru. Berapa rentang yang masuk akal untuk tingkat adopsi sebenarnya?

result <- prop.test(47, 120)
print(result$estimate)
print(result$conf.int)

Proporsi sampelnya 0,39, interval kepercayaan 95% kira-kira 0,30 sampai 0,49, jadi "adopsi sekitar 40%" hanya jujur kalau disertai lingkaran ±9 poin itu. prop.test() memakai pendekatan yang lebih baik daripada rumus buku teks p ± 1.96 × sqrt(p(1−p)/n) (ini interval tipe Wilson dengan koreksi kontinuitas), yang paling penting di dekat 0 atau 1: interval buku teks bisa keluar dari [0, 1], yang ini tidak. Untuk hitungan yang sangat kecil, binom.test(47, 120)$conf.int memberikan versi eksaknya.

Interval kepercayaan untuk koefisien model: confint()

Model yang sudah dibuat mendapat intervalnya lewat satu fungsi generik:

fit <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
print(confint(fit))
print(confint(fit, level = 0.99))

Setiap baris mengapit satu koefisien dari regresi linear: interval 95% untuk kemiringan wt berada di antara sekitar −6,5 dan −4,2 mpg per 1000 lbs. Ini lebih informatif daripada p-value di ringkasan: interval ini mengatakan efeknya bukan hanya tidak nol, tapi setidaknya sekitar 4 mpg dan mungkin sampai sekitar 6,5.

Untuk glm() logistik, confint(fit) bekerja dengan cara yang sama tapi mengembalikan batas dalam log-odds; pangkatkan dengan exp untuk mendapat interval odds ratio, yaitu exp(confint(fit)), dan ingat bahwa nilai acuan "tidak ada efek" menjadi 1, bukan 0.

Ukuran sampel: hukum akar kuadrat

Lebar interval menyusut sebanding dengan sqrt(n), dan ini punya konsekuensi yang mudah diingat: perbesar data empat kali lipat, intervalnya jadi setengah. Lihat sendiri dengan data simulasi: distribusinya sama, satu sampel berukuran 4× lebih besar (seed membuatnya bisa diulang; lihat bilangan acak):

set.seed(42)
small <- rnorm(50, mean = 100, sd = 15)
large <- rnorm(200, mean = 100, sd = 15)   # 4 times the n

ci_small <- t.test(small)$conf.int
ci_large <- t.test(large)$conf.int

print(diff(ci_small))   # width with n = 50
print(diff(ci_large))   # width with n = 200 - about half

Lebarnya mendekati rasio 2:1 (derau sampling membuatnya tidak persis). Akar kuadrat inilah yang membuat ketelitian jadi mahal: 100 observasi pertama mempersempit interval lebih banyak daripada 300 observasi berikutnya digabung, dan membagi dua interval yang sudah sempit selalu butuh 4× dari apa pun yang sudah kamu keluarkan sejauh ini.

Interval kepercayaan dan p-value: dua sudut pandang dari satu uji

Interval kepercayaan dan uji hipotesis adalah informasi yang sama dengan pakaian berbeda. Interval kepercayaan 95% memuat persis nilai-nilai parameter yang tidak akan ditolak oleh uji dua sisi pada taraf 0,05. Jadi:

• Interval kepercayaan untuk selisih rata-rata tidak memuat 0 ⇔ uji t memberi p < 0,05.
• Interval kepercayaan untuk odds ratio tidak memuat 1 ⇔ p koefisiennya < 0,05.

Kalau kamu punya intervalnya, biasanya kamu punya ringkasan yang lebih baik: interval memberikan keputusan signifikansi yang sama plus besarnya efek dalam satuan nyata. "p = 0,03" mengatakan ada perbedaan; "interval kepercayaan 95%: 0,2 sampai 7,6" mengatakan perbedaannya ada dan bisa jadi remeh atau bisa jadi sangat besar, dan sering kali itulah temuan yang penting.

Yang kamu bawa pulang

• 95% menggambarkan tingkat keberhasilan prosedur dalam jangka panjang, bukan peluang bahwa interval yang satu ini menangkap kebenaran.
• Rata-rata: t.test(x)$conf.int, atau secara manual sebagai rata-rata ± qt(0.975, n−1) × SE.
• Proporsi: prop.test(x, n)$conf.int; koefisien model: confint(fit) (pangkatkan dengan exp untuk odds ratio glm).
• Kepercayaan lebih tinggi = interval lebih lebar; 95% adalah konvensi, bukan hukum.
• Lebar menyusut sebanding dengan sqrt(n): data 4× lipat membuat intervalnya setengah.
• Interval kepercayaan memuat setiap nilai yang tidak akan ditolak oleh uji pada taraf 0,05, dan tidak seperti p-value, interval menunjukkan besarnya efek.

Berikutnya: perangkat simulasi di balik semua ini, yaitu bilangan acak dengan rnorm, runif, sample, dan set.seed.