Pengantar

Persamaan Diophantine adalah persamaan yang hanya mengizinkan solusi bilangan bulat.

3x+5y=1 memiliki banyak solusi. Salah satu solusinya adalah: x₀=2, y₀=-1. Solusi lainnya dapat ditemukan dengan menambahkan kelipatan lima ke x₀ dan mengurangi kelipatan tiga dari y₀. (x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]. 

4x+2y=1 tidak memiliki solusi bilangan bulat, karena ruas kiri selalu genap untuk pilihan bilangan bulat apa pun, sedangkan ruas kanan selalu ganjil.

9x+12y=4 tidak memiliki solusi bilangan bulat, karena ruas kiri habis dibagi 3, sedangkan ruas kanan tidak.

Secara umum, mungkin diperlukan kode komputer khusus untuk menyelesaikan persamaan Diophantine tertentu.

Bilangan segitiga dan bilangan heksagonal dihasilkan oleh rumus berikut:

• Segitiga -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• Heksagonal - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Kita melihat bahwa T₁=H₁,  T₃=H₂ dan T₅=H₃.

Kapan bilangan heksagonal sama dengan bilangan segitiga?

Kita mulai dengan mengasumsikan bahwa t genap, jadi kita menulis: t=2t₀.

Jadi, kita harus menyelesaikan:
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => buka tanda kurung
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => bagi
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
persamaan ini TIDAK memiliki solusi bilangan bulat.
Jadi, t harus ganjil.

Sekarang anggap t = 2t₁-1. Jadi, kita harus menyelesaikan:
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => buka tanda kurung
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h.

Jadi, t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

Dan inilah jawaban akhirnya.