地球对人的引力
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, r = 6371 km先换算：1 M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg，6371 km = 6.371 × 10⁶ m。F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N。这就是这个人受到的重力：70 · 9.81 = 686.7 N，在舍入误差内相同。
万有引力计算器
用牛顿万有引力定律求两个质量之间的引力。
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牛顿万有引力定律及其含义
任何两个质量之间都相互吸引。牛顿万有引力定律给出了这种引力的大小：F = Gm₁m₂/r²，其中 m₁ 和 m₂ 是两个质量，单位为千克，r 是两者中心之间的距离，单位为米，G 是引力常量，6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。引力的单位是牛顿，大小相等地作用在两个质量上，方向都指向对方。
G 非常小，所以日常物体之间的引力小到感觉不到：相距 1 m 的两个 70 kg 的人，彼此间的引力约为 3.3 × 10⁻⁷ N。要有行星那么大的质量，才能产生让人察觉的力。距离是平方的，所以这是一条平方反比定律：距离加倍，引力变为四分之一；距离变为三倍，引力变为九分之一。
计算器会求出 F、m₁、m₂、r 中你留空的那个。质量可以用千克、吨、地球质量（M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg）或太阳质量（M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg）表示，距离可以用米、千米或天文单位（1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m）表示。每个值都会先单独作为一步换算成国际单位制单位，所以你可以直接输入 1 个地球质量和 6371 km，不必写十的幂。
需要注意什么
- 只有质量用千克、r 用米时，F = Gm₁m₂/r² 给出的才是牛顿。G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² 在宇宙中任何地方都相同。
- r 是中心到中心的距离。对站在地面上的人来说，r 是地球半径，约 6371 km，而不是零。
- 这是一条平方反比定律：距离加倍，引力变为四分之一；距离变为十倍，引力变为百分之一。
- 两个质量受到的力大小相同。地球以 687 N 的力吸引你，你也以 687 N 的力吸引地球；只是地球难推动得多。
- 在地球表面，这条定律和重力公式 W = mg 给出相同的答案：G 乘以地球质量再除以地球半径的平方，约为 9.8 m/s²。
- 反过来求距离需要开平方：r = √(Gm₁m₂/F)。
怎样计算万有引力
两个质量都换成千克
1 个地球质量是 5.9722 × 10²⁴ kg，1 个太阳质量是 1.98847 × 10³⁰ kg，1 吨是 1000 kg。在计算器中可以直接选择这些单位。
求出两个中心之间的距离，单位为米
千米乘以 1000；1 AU 是 1.495978707 × 10¹¹ m。物体在行星表面时，用行星半径；在表面之上时，用半径加上高度。
距离平方，然后相除
F = G · m₁ · m₂ / r²。G 乘以两个质量，再除以 r²。地球和一个 70 kg 的人：6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N。
读出以牛顿为单位的答案
很大或很小的力会用十的幂表示。太阳和地球之间的引力约为 3.54 × 10²² N。
真实物体之间的引力
用 F = Gm₁m₂/r² 和 G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² 算出，已取近似。距离都是中心到中心；人的质量是 70 kg。
| 物体 | 质量 | 距离 r | 引力 |
|---|---|---|---|
| 两个 1 kg 的物体 | 1 kg 和 1 kg | 1 m | 6.67 × 10⁻¹¹ N |
| 两个人 | 70 kg 和 70 kg | 1 m | 3.27 × 10⁻⁷ N |
| 人和头顶上方的月球 | 70 kg 和 7.342 × 10²² kg | 378,029 km | 0.0024 N |
| 人和太阳 | 70 kg 和 1 M☉ | 1 AU | 0.415 N |
| 人和地球，在地面上 | 70 kg 和 1 M⊕ | 6,371 km | 687 N |
| 人和地球，在国际空间站的高度 | 70 kg 和 1 M⊕ | 6,771 km | 609 N |
| 地球和月球 | 1 M⊕ 和 7.342 × 10²² kg | 384,400 km | 1.98 × 10²⁰ N |
| 太阳和地球 | 1 M☉ 和 1 M⊕ | 1 AU | 3.54 × 10²² N |
例题详解
地球和月球
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 7.342 × 10²² kg, r = 384,400 kmr = 3.844 × 10⁸ m，F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 7.342 × 10²² / (3.844 × 10⁸)² = 1.98 × 10²⁰ N。正是这个引力让月球保持在轨道上，而月球对地球大小相同的引力引起了潮汐。
太阳和地球
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m₁ = 1 M☉, m₂ = 1 M⊕, r = 1 AU1 M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg，1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m。F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 1.98847 × 10³⁰ · 5.9722 × 10²⁴ / (1.496 × 10¹¹)² = 3.54 × 10²² N。
离中心远一倍
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, F = 171.86 N把 r 留空。r = √(Gm₁m₂/F) = √(6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / 171.86) = 1.274 × 10⁷ m，约 12,742 km：两个地球半径。离中心的距离是地面处的两倍，引力只有地面上 687 N 的四分之一。
相距 1 m 的两个人
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m₁ = 70 kg, m₂ = 70 kg, r = 1 mF = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² = 3.27 × 10⁻⁷ N，相当于一粒约 0.03 mg 的灰尘受到的重力。普通物体之间的引力是真实存在的，但弱到根本察觉不到。
常见错误
- 从表面而不是从中心量 r。一颗在 400 km 高空的卫星，离地心是 6371 + 400 = 6771 km，这才是要用的 r。
- 忘记把距离平方。除以 r 而不是 r²，对行星大小的物体来说，答案会大上百万倍。
- 在公式中用千米。G 的单位是 N·m²/kg²，所以 r 必须用米；用 km 会让力大一百万倍。
- 把 G 输错。它是 6.6743 × 10⁻¹¹，十的负次幂；输成 6.6743e11 会差 10²² 倍。
- 以为质量大的一方受到的力更大。两个质量受到的力相同；只是轻的那个加速度更大。
- 把 G 和 g 混淆。G 是万有引力常量，6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。g 是某个地点的重力加速度，地球表面为 9.81 m/s²。
万有引力常见问题
万有引力的公式是什么？
F = Gm₁m₂/r²，即牛顿万有引力定律。m₁ 和 m₂ 是质量，单位为千克，r 是两者中心之间的距离，单位为米，G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。得到的力单位为牛顿。
引力常量 G 是多少？
G 是决定各处引力强弱的常量：6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²，计算器使用的是 CODATA 推荐值。它等于相距 1 m 的两个 1 kg 质量之间以牛顿计的引力。
怎样由万有引力求距离？
把公式变形：r = √(Gm₁m₂/F)。G 乘以两个质量，除以力，再开平方。得到的是两个中心之间的距离。
怎样由万有引力求某个质量？
变形求未知的质量：m₁ = Fr² / (Gm₂)。力乘以距离的平方，再除以 G 与另一个质量的乘积。把这个质量的输入框留空，计算器就会替你算。
为什么 r 要从中心量起？
一颗球形的行星或恒星，对外的引力就像它的全部质量都集中在中心一样。所以对地面上或地面之上的物体来说，r 是地球半径 6371 km 再加上离地面的高度。
什么是平方反比定律？
力随距离的平方减小，因为公式中的 r 是平方的。距离加倍，力变为四分之一；距离变为三倍，力变为九分之一。
万有引力和重力是一回事吗？
是的，你受到的重力就是地球对你的万有引力。在地面附近用 W = mg 更简单，答案相同：70 kg 乘以 9.81 m/s² 是 687 N，G 乘以地球质量再乘以 70 kg、除以半径的平方，结果也是这个数。
为什么感觉不到日常物体之间的引力？
因为 G 太小了。相距 1 m 的两个 70 kg 的人，彼此间的引力约为 3.3 × 10⁻⁷ N。需要像行星那么大的质量，才能产生大到能感觉到的力。
