碳-14 经过三个半衰期
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N₀ = 100, t = 17,190 yr, t½ = 5,730 yrt/t½ = 17,190 / 5,730 = 3。N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12.5。开始有 100 g，就剩 12.5 g；开始是 100%，就剩 12.5%。
半衰期计算器
求放射性衰变后剩余的量、经过的时间或半衰期。
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半衰期公式及其含义
放射性样品衰变的快慢由它的半衰期 t½ 决定：一半原子发生衰变所需的时间。不管开始有多少，经过一个半衰期剩下一半，两个剩下四分之一，三个剩下八分之一。公式是 N = N₀(½)^(t/t½)，其中 N₀ 是初始量，N 是剩余量，t 是经过的时间。
指数 t/t½ 计算的是经过了几个半衰期，它不一定是整数。反过来求时间，要取以 2 为底的对数：t = t½ · log₂(N₀/N)。如果 80 g 变成了 10 g，N₀/N = 8，log₂ 8 = 3，所以经过了三个半衰期。半衰期与量的多少无关：1 克和 1 吨碘-131 都在 8.02 天内减半。
计算器会求出四个量中你留空的那个：剩余量、初始量、时间或半衰期。两个量可以用任何单位，克、原子数、百分比或以贝可勒尔计的放射性活度都可以，只要两者用同一种。时间可以用秒、分钟、小时、天或年（这里一年按 365.25 天计），时间和半衰期可以用不同的单位：两者都会先换算成秒，答案会用你选择的单位显示，也会用其他单位显示。
需要注意什么
- 经过 1、2、3、4、5 个半衰期后，剩下的比例是 50%、25%、12.5%、6.25% 和 3.125%。每个半衰期减半的是剩下的量，而不是最初的量。
- 在公式中，衰变永远不会真正到零。经过 10 个半衰期后约剩 0.1%；经过 20 个，约剩百万分之一。
- 两个量只以比值 N₀/N 的形式出现，所以单位会约掉。质量、原子数、百分比和以贝可勒尔计的活度都可以，只要两个量用同一种。
- 时间和半衰期相除前必须用同一个单位。24 小时和 6.01 小时的半衰期，得到 24 / 6.01 = 3.99 个半衰期。
- 衰变常数是 λ = ln 2 / t½，表示单位时间内衰变的比例。N = N₀e^(−λt) 是同一条定律，只是用 e 代替了 ½。
怎样计算半衰期问题
写出已知量
四个量中的三个：初始量 N₀、剩余量 N、时间 t 和半衰期 t½。
时间和半衰期用同一个单位
小时对小时，年对年。2 天是 48 小时；一年是 365.25 天。
求剩余量：把 ½ 取 t/t½ 次幂
N = N₀ · (½)^(t/t½)。100 g 碳-14 经过 17,190 年：17,190 / 5,730 = 3，100 · (½)³ = 12.5 g。
求时间：取以 2 为底的对数
t = t½ · log₂(N₀/N)。从 100% 到 25% 是 log₂ 4 = 2 个半衰期；对碳-14 来说就是 2 · 5,730 = 11,460 年。如果计算器没有 log₂，就用 log₂ x = ln x / ln 2。
常见同位素的半衰期
取近似的标准值。从几分钟到几十亿年不等，所以计算器接受从秒到年的时间单位。
| 同位素 | 半衰期 | 在哪里见到它 |
|---|---|---|
| 氟-18 | 110 分钟 | PET 扫描 |
| 锝-99m | 6.01 小时 | 医学扫描中最常用的示踪剂 |
| 氡-222 | 3.82 天 | 从岩石渗入地下室的气体 |
| 碘-131 | 8.02 天 | 甲状腺治疗 |
| 钋-210 | 138 天 | α 放射源 |
| 钴-60 | 5.27 年 | 放射治疗，医疗器械消毒 |
| 氢-3（氚） | 12.3 年 | 发光的出口指示牌和表盘 |
| 铯-137 | 30.1 年 | 切尔诺贝利和福岛的放射性沉降物 |
| 镭-226 | 1,600 年 | 旧式夜光涂料 |
| 碳-14 | 5,730 年 | 放射性碳测年 |
| 钚-239 | 24,100 年 | 核反应堆 |
| 铀-235 | 7.04 亿年 | 核燃料 |
| 钾-40 | 12.5 亿年 | 香蕉、人体、岩石测年 |
| 铀-238 | 44.7 亿年 | 测定地球上最古老岩石的年龄 |
例题详解
由两次测量求半衰期
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 d变形求半衰期：t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 天。这与碘-131 的 8.02 天很接近。把半衰期输入框的单位设为天，答案显示为 8；同时也会以秒、小时和年给出。
多久之后只剩四分之一
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N₀ = 1, N = 0.25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 天。四分之一就是减半两次，所以时间是两个半衰期。
医用示踪剂一天之后
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6.01 h锝-99m：t/t½ = 24 / 6.01 = 3.993 个半衰期，不是整数，这没有问题。N = 100 · (½)^3.993 = 6.28，所以一天后剩下剂量的 6.28%。
碳测年
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5,730 yr一块骨头所含的碳-14 是活体组织的 25%：t = 5,730 · log₂(100 / 25) = 5,730 · 2 = 11,460 年。
常见错误
- 以为经过两个半衰期就全没了。第一个半衰期减少一半，然后是剩下的一半：两个之后剩 25%，三个之后剩 12.5%。
- 用减法而不是减半。每经过一个半衰期，量都乘以 ½；它不是每次减少相同的量。
- 时间和半衰期单位不同时直接相除。24 小时除以 8.02 天的半衰期，必须先变成 1 天除以 8.02 天。
- 两个量用不同的单位。N 用克、N₀ 用百分比，得到的比值毫无意义；两者必须都用克、都用原子数或都用百分比。
- 对 N₀/N 取 ln 或 log₁₀ 后，忘了除以 ln 2 或 log₁₀ 2。时间是 t½ · log₂(N₀/N)，而 log₂ x = ln x / ln 2。
- 把 N 和 N₀ 弄反。初始量是较大的那个；只要发生了衰变，N₀/N 就大于 1。
半衰期常见问题
半衰期公式是什么？
N = N₀(½)^(t/t½)，其中 N₀ 是初始量，N 是经过时间 t 后的剩余量，t½ 是半衰期。指数 t/t½ 是已经经过的半衰期个数。
怎样计算半衰期？
测出开始时的量和经过已知时间后的量，然后用 t½ = t / log₂(N₀/N)。如果 80 个单位在 24 天内降到 10，log₂ 8 = 3，所以半衰期是 24 / 3 = 8 天。
怎样由半衰期求时间？
用 t = t½ · log₂(N₀/N)。对数计算的是减半的次数：从 100% 到 12.5% 是 log₂ 8 = 3 个半衰期，所以半衰期为 5,730 年时，时间是 17,190 年。
经过 3 个半衰期后还剩多少？
八分之一，即 12.5%。每个半衰期都让剩下的量减半：一个之后 50%，两个之后 25%，三个之后 12.5%，四个之后 6.25%，五个之后 3.125%。
两个量可以用克、原子数或百分比吗？
可以。公式只用到两个量的比值，所以只要剩余量和初始量用同一种单位，任何单位都可以。以贝可勒尔计的放射性活度也可以，因为它也按同样的半衰期减少。
什么是衰变常数？
衰变常数 λ 是单位时间内发生衰变的原子所占的比例，λ = ln 2 / t½。碳-14 的衰变常数是 0.693 / 5,730 = 1.21 × 10⁻⁴ 每年。这条定律也可以写成 N = N₀e^(−λt)。
碳测年是怎样利用半衰期的？
生物会吸收碳-14，体内所占的比例与空气中相同。生物死亡后，碳-14 以 5,730 年的半衰期衰变。测出剩下的比例，用 t = 5,730 · log₂(N₀/N) 就能求出年龄：剩下 25% 表示 11,460 年。
