Углерод-14 через три периода полураспада
plain
N₀ = 100, t = 17 190 лет, t½ = 5730 летt/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Начните со 100 г, и останется 12,5 г; начните со 100%, и останется 12,5%.
Калькулятор периода полураспада
Сколько вещества осталось после радиоактивного распада, сколько прошло времени или каков период полураспада.
Обновлено
Хотите решать такие задачи без калькулятора?
Курс физики Coddy учит самому методу: вы решаете каждую задачу по шагам на интерактивной доске и узнаёте, на каком шаге ошиблись.
Формула периода полураспада и что она говорит
Радиоактивный образец распадается со скоростью, которую задаёт его период полураспада t½: время, за которое распадается половина атомов. Сколько бы вещества ни было в начале, через один период полураспада остаётся половина, через два четверть, через три восьмая часть. Формула N = N₀(½)^(t/t½), где N₀ начальное количество, N оставшееся количество, а t прошедшее время.
Показатель t/t½ считает, сколько периодов полураспада прошло, и он не обязан быть целым. Чтобы найти время, возьмите логарифм по основанию 2: t = t½ · log₂(N₀/N). Если из 80 г осталось 10 г, N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, значит, прошло три периода полураспада. Период полураспада не зависит от количества вещества: и грамм, и тонна йода-131 уменьшаются вдвое за 8,02 суток.
Калькулятор решает формулу относительно той из четырёх величин, которую вы оставили пустой: оставшееся количество, начальное количество, время или период полураспада. Оба количества можно задавать в любой единице, граммах, числе атомов, процентах или беккерелях активности, лишь бы у обоих она была одна и та же. Время можно задавать в секундах, минутах, часах, сутках или годах (год здесь равен 365,25 суток), причём время и период полураспада могут быть в разных единицах: оба сначала переводятся в секунды, а ответ показывается в выбранной единице и в остальных.
На что обратить внимание
- После 1, 2, 3, 4 и 5 периодов полураспада остаётся 50%, 25%, 12,5%, 6,25% и 3,125%. Каждый период уменьшает вдвое то, что осталось, а не то, что было в начале.
- По формуле распад никогда не доходит точно до нуля. После 10 периодов остаётся около 0,1%; после 20 около одной миллионной.
- Количества входят в формулу только как отношение N₀/N, поэтому их единица сокращается. Подходят масса, число атомов, проценты и активность в беккерелях, если оба количества заданы в одной и той же.
- Время и период полураспада перед делением должны быть в одной единице. 24 часа при периоде 6,01 часа дают 24 / 6,01 = 3,99 периода полураспада.
- Постоянная распада λ = ln 2 / t½, это доля атомов, распадающихся за единицу времени. N = N₀e^(−λt) это тот же закон, записанный через e вместо ½.
Как решать задачи на период полураспада
Выпишите, что известно
Три из четырёх величин: начальное количество N₀, оставшееся количество N, время t и период полураспада t½.
Переведите время и период полураспада в одну единицу
Часы с часами, годы с годами. 2 суток это 48 часов; год это 365,25 суток.
Для оставшегося количества возведите ½ в степень t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 г углерода-14 через 17 190 лет: 17 190 / 5730 = 3, и 100 · (½)³ = 12,5 г.
Для времени возьмите логарифм по основанию 2
t = t½ · log₂(N₀/N). От 100% до 25% это log₂ 4 = 2 периода полураспада; для углерода-14 это 2 · 5730 = 11 460 лет. На калькуляторе без log₂ используйте log₂ x = ln x / ln 2.
Периоды полураспада известных изотопов
Округлённые справочные значения. Они лежат в диапазоне от минут до миллиардов лет, поэтому калькулятор принимает время от секунд до лет.
| Изотоп | Период полураспада | Где встречается |
|---|---|---|
| Фтор-18 | 110 минут | ПЭТ-диагностика |
| Технеций-99m | 6,01 часа | Самый распространённый индикатор в медицинской диагностике |
| Радон-222 | 3,82 суток | Газ, просачивающийся из горных пород в подвалы |
| Йод-131 | 8,02 суток | Лечение щитовидной железы |
| Полоний-210 | 138 суток | Источники альфа-излучения |
| Кобальт-60 | 5,27 года | Лучевая терапия, стерилизация медицинских инструментов |
| Водород-3 (тритий) | 12,3 года | Светящиеся указатели выхода и циферблаты часов |
| Цезий-137 | 30,1 года | Радиоактивные выпадения после Чернобыля и Фукусимы |
| Радий-226 | 1600 лет | Старая светящаяся краска |
| Углерод-14 | 5730 лет | Радиоуглеродный анализ |
| Плутоний-239 | 24 100 лет | Ядерные реакторы |
| Уран-235 | 704 миллиона лет | Ядерное топливо |
| Калий-40 | 1,25 миллиарда лет | Бананы, тело человека, датирование горных пород |
| Уран-238 | 4,47 миллиарда лет | Датирование древнейших пород Земли |
Разобранные примеры
Период полураспада по двум измерениям
plain
N₀ = 80, N = 10, t = 24 сутВыразим период полураспада: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 суток. Это близко к 8,02 суток у йода-131. Выберите для поля периода полураспада сутки, и ответ будет 8; он также показывается в секундах, часах и годах.
Через сколько останется четверть
plain
N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 сутt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 суток. Четверть это два деления пополам, поэтому время равно двум периодам полураспада.
Медицинский индикатор через сутки
plain
N₀ = 100, t = 24 ч, t½ = 6,01 чТехнеций-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 периода полураспада, не целое число, и это нормально. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, значит, через сутки остаётся 6,28% дозы.
Радиоуглеродный анализ
plain
N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 летВ кости 25% углерода-14 от содержания в живой ткани: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 лет.
Частые ошибки
- Думать, что за два периода полураспада распадается всё. За первый распадается половина, затем половина оставшегося: после двух остаётся 25%, после трёх 12,5%.
- Вычитать вместо деления пополам. После каждого периода количество умножается на ½; оно не уменьшается каждый раз на одну и ту же величину.
- Делить время на период полураспада, когда они в разных единицах. 24 часа при периоде 8,02 суток сначала нужно записать как 1 сутки при 8,02 суток.
- Брать разные единицы для двух количеств. N в граммах и N₀ в процентах дают бессмысленное отношение; оба должны быть в граммах, оба в числе атомов или оба в процентах.
- Брать ln или log₁₀ от N₀/N и забывать разделить на ln 2 или log₁₀ 2. Время равно t½ · log₂(N₀/N), а log₂ x = ln x / ln 2.
- Путать N и N₀. Начальное количество больше; у всего, что распалось, N₀/N больше 1.
Вопросы о периоде полураспада
Какая формула периода полураспада?
N = N₀(½)^(t/t½), где N₀ начальное количество, N количество, оставшееся через время t, а t½ период полураспада. Показатель t/t½ это число прошедших периодов полураспада. В российских учебниках тот же закон пишут N = N₀ · 2^(−t/T).
Как вычислить период полураспада?
Измерьте количество в начале и через известное время, затем используйте t½ = t / log₂(N₀/N). Если 80 единиц уменьшились до 10 за 24 суток, log₂ 8 = 3, поэтому период полураспада 24 / 3 = 8 суток.
Как найти время по периоду полураспада?
Используйте t = t½ · log₂(N₀/N). Логарифм считает деления пополам: от 100% до 12,5% это log₂ 8 = 3 периода полураспада, поэтому при периоде 5730 лет время равно 17 190 годам.
Сколько остаётся после 3 периодов полураспада?
Одна восьмая, 12,5%. Каждый период уменьшает вдвое то, что осталось: 50% после первого, 25% после второго, 12,5% после третьего, 6,25% после четвёртого и 3,125% после пятого.
Можно ли задавать количества в граммах, атомах или процентах?
Да. В формулу входит только отношение двух количеств, поэтому подходит любая единица, если оставшееся и начальное количество заданы в одной и той же. Активность в беккерелях тоже подходит, поскольку она убывает с тем же периодом полураспада.
Что такое постоянная распада?
Постоянная распада λ это доля атомов, распадающихся за единицу времени, и λ = ln 2 / t½. Для углерода-14 она равна 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ в год. Тогда закон можно записать как N = N₀e^(−λt).
Как период полураспада используют в радиоуглеродном анализе?
Живые организмы поглощают углерод-14 и поддерживают ту же его долю, что и в воздухе. После смерти он распадается с периодом полураспада 5730 лет. Измерьте оставшуюся долю, и t = 5730 · log₂(N₀/N) даст возраст: если осталось 25%, это 11 460 лет.
