Carbonio-14 dopo tre tempi di dimezzamento
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N₀ = 100, t = 17 190 anni, t½ = 5730 annit/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Parti da 100 g e restano 12,5 g; parti dal 100% e resta il 12,5%.
Calcolatrice tempo di dimezzamento
La quantità rimasta dopo un decadimento radioattivo, il tempo trascorso o il tempo di dimezzamento.
Ultimo aggiornamento
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La formula del tempo di dimezzamento, e cosa dice
Un campione radioattivo decade con un ritmo fissato dal suo tempo di dimezzamento, t½: il tempo che serve perché metà degli atomi decada. Qualunque sia la quantità iniziale, dopo un tempo di dimezzamento ne resta la metà, dopo due un quarto, dopo tre un ottavo. La formula è N = N₀(½)^(t/t½), dove N₀ è la quantità iniziale, N la quantità rimasta e t il tempo trascorso.
L'esponente t/t½ conta quanti tempi di dimezzamento sono passati, e non deve per forza essere un numero intero. Per tornare indietro al tempo, usa un logaritmo in base 2: t = t½ · log₂(N₀/N). Se 80 g sono diventati 10 g, N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, quindi sono passati tre tempi di dimezzamento. Il tempo di dimezzamento non dipende da quanto materiale hai: un grammo e una tonnellata di iodio-131 si dimezzano entrambi in 8,02 giorni.
La calcolatrice risolve la formula per quella delle quattro grandezze che lasci vuota: la quantità rimasta, la quantità iniziale, il tempo o il tempo di dimezzamento. Le due quantità possono essere in qualsiasi unità, grammi, atomi, una percentuale o becquerel di attività, purché entrambe usino la stessa. I tempi possono essere in secondi, minuti, ore, giorni o anni (qui un anno è 365,25 giorni), e il tempo e il tempo di dimezzamento possono usare unità diverse: entrambi vengono prima convertiti in secondi, e il risultato è dato nell'unità che scegli e nelle altre.
Cosa notare
- Dopo 1, 2, 3, 4 e 5 tempi di dimezzamento la frazione rimasta è 50%, 25%, 12,5%, 6,25% e 3,125%. Ogni tempo di dimezzamento dimezza ciò che è rimasto, non ciò con cui hai iniziato.
- Nella formula il decadimento non arriva mai del tutto a zero. Dopo 10 tempi di dimezzamento resta circa lo 0,1%; dopo 20, circa un milionesimo.
- Le quantità compaiono solo come rapporto, N₀/N, quindi la loro unità si semplifica. Massa, numero di atomi, percentuale e attività in becquerel funzionano tutte, se entrambe le quantità usano la stessa.
- Il tempo e il tempo di dimezzamento devono essere nella stessa unità prima di dividerli. 24 ore e un tempo di dimezzamento di 6,01 ore danno 24 / 6,01 = 3,99 tempi di dimezzamento.
- La costante di decadimento è λ = ln 2 / t½, la frazione che decade per unità di tempo. N = N₀e^(−λt) è la stessa legge scritta con e invece che con ½.
Come risolvere i problemi sul tempo di dimezzamento
Scrivi i dati
Tre delle quattro grandezze: la quantità iniziale N₀, la quantità rimasta N, il tempo t e il tempo di dimezzamento t½.
Metti il tempo e il tempo di dimezzamento nella stessa unità
Ore con ore, anni con anni. 2 giorni sono 48 ore; un anno è 365,25 giorni.
Per la quantità rimasta, eleva ½ alla t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g di carbonio-14 dopo 17 190 anni: 17 190 / 5730 = 3, e 100 · (½)³ = 12,5 g.
Per il tempo, usa un logaritmo in base 2
t = t½ · log₂(N₀/N). Dal 100% al 25% sono log₂ 4 = 2 tempi di dimezzamento; per il carbonio-14 fanno 2 · 5730 = 11 460 anni. Su una calcolatrice senza log₂, usa log₂ x = ln x / ln 2.
Tempi di dimezzamento di isotopi noti
Valori standard arrotondati. Vanno da minuti a miliardi di anni, ed è per questo che la calcolatrice accetta tempi dai secondi agli anni.
| Isotopo | Tempo di dimezzamento | Dove lo incontri |
|---|---|---|
| Fluoro-18 | 110 minuti | PET |
| Tecnezio-99m | 6,01 ore | Il tracciante più usato negli esami medici |
| Radon-222 | 3,82 giorni | Un gas che filtra dalle rocce negli scantinati |
| Iodio-131 | 8,02 giorni | Terapia della tiroide |
| Polonio-210 | 138 giorni | Sorgenti alfa |
| Cobalto-60 | 5,27 anni | Radioterapia, sterilizzazione di strumenti medici |
| Idrogeno-3 (trizio) | 12,3 anni | Insegne di uscita luminose e quadranti di orologi |
| Cesio-137 | 30,1 anni | Ricaduta radioattiva di Chernobyl e Fukushima |
| Radio-226 | 1600 anni | Vecchie vernici luminescenti |
| Carbonio-14 | 5730 anni | Datazione al radiocarbonio |
| Plutonio-239 | 24 100 anni | Reattori nucleari |
| Uranio-235 | 704 milioni di anni | Combustibile nucleare |
| Potassio-40 | 1,25 miliardi di anni | Banane, corpo umano, datazione delle rocce |
| Uranio-238 | 4,47 miliardi di anni | Datazione delle rocce più antiche della Terra |
Esempi svolti
Il tempo di dimezzamento da due misure
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 giorniRicava la formula inversa per il tempo di dimezzamento: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 giorni. È vicino agli 8,02 giorni dello iodio-131. Imposta la casella del tempo di dimezzamento sui giorni e il risultato è 8; è dato anche in secondi, ore e anni.
Quanto manca perché resti un quarto
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N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 giornit = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 giorni. Un quarto sono due dimezzamenti, quindi il tempo è due tempi di dimezzamento.
Un tracciante medico dopo un giorno
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTecnezio-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 tempi di dimezzamento, non un numero intero, e va bene così. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, quindi dopo un giorno resta il 6,28% della dose.
Datazione al carbonio
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 anniUn osso con il 25% del carbonio-14 di un tessuto vivo: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 anni.
Errori comuni
- Pensare che dopo due tempi di dimezzamento non resti niente. Nel primo se ne va la metà, poi la metà di ciò che resta: dopo due resta il 25%, dopo tre il 12,5%.
- Sottrarre invece di dimezzare. Dopo ogni tempo di dimezzamento la quantità viene moltiplicata per ½; non scende ogni volta della stessa quantità.
- Dividere il tempo per il tempo di dimezzamento quando sono in unità diverse. 24 ore su un tempo di dimezzamento di 8,02 giorni vanno prima trasformate in 1 giorno su 8,02 giorni.
- Usare unità diverse per le due quantità. N in grammi e N₀ in percentuale danno un rapporto senza senso; devono essere entrambe in grammi, entrambe in atomi o entrambe in percentuale.
- Calcolare ln o log₁₀ di N₀/N e dimenticare di dividere per ln 2 o log₁₀ 2. Il tempo è t½ · log₂(N₀/N), e log₂ x = ln x / ln 2.
- Scambiare N e N₀. La quantità iniziale è la maggiore; N₀/N è maggiore di 1 per qualsiasi cosa sia decaduta.
Domande frequenti sul tempo di dimezzamento
Qual è la formula del tempo di dimezzamento?
N = N₀(½)^(t/t½), dove N₀ è la quantità iniziale, N la quantità rimasta dopo un tempo t, e t½ il tempo di dimezzamento. L'esponente t/t½ è il numero di tempi di dimezzamento trascorsi.
Come si calcola il tempo di dimezzamento?
Misura la quantità all'inizio e dopo un tempo noto, poi usa t½ = t / log₂(N₀/N). Se 80 unità scendono a 10 in 24 giorni, log₂ 8 = 3, quindi il tempo di dimezzamento è 24 / 3 = 8 giorni.
Come si trova il tempo dal tempo di dimezzamento?
Usa t = t½ · log₂(N₀/N). Il logaritmo conta i dimezzamenti: dal 100% al 12,5% sono log₂ 8 = 3 tempi di dimezzamento, quindi con un tempo di dimezzamento di 5730 anni il tempo è 17 190 anni.
Quanto resta dopo 3 tempi di dimezzamento?
Un ottavo, il 12,5%. Ogni tempo di dimezzamento dimezza ciò che resta: 50% dopo uno, 25% dopo due, 12,5% dopo tre, 6,25% dopo quattro e 3,125% dopo cinque.
Posso usare grammi, atomi o percentuali per le quantità?
Sì. La formula usa solo il rapporto tra le due quantità, quindi va bene qualsiasi unità purché la quantità rimasta e quella iniziale usino la stessa. Funziona anche l'attività in becquerel, perché diminuisce con lo stesso tempo di dimezzamento.
Cos'è la costante di decadimento?
La costante di decadimento λ è la frazione di atomi che decade per unità di tempo, e λ = ln 2 / t½. Per il carbonio-14 vale 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ all'anno. La legge si può allora scrivere N = N₀e^(−λt).
Come usa il tempo di dimezzamento la datazione al carbonio?
Gli esseri viventi assorbono carbonio-14 e ne mantengono la stessa proporzione dell'aria. Quando muoiono, decade con un tempo di dimezzamento di 5730 anni. Misura la frazione rimasta e t = 5730 · log₂(N₀/N) dà l'età: il 25% rimasto vuol dire 11 460 anni.
