Introduction

ディオファントス方程式とは、整数解のみが許される方程式のことです。

3x+5y=1 には多くの解があります。解の一つは x₀=2, y₀=-1 です。他の解は、x₀ に 5 を加え、y₀ から 3 を引くことで見つけることができます。(x,y)=[(2,-1), (7,-4), (12,-7), ..., (-3,2), ...]。 

4x+2y=1 には整数解がありません。なぜなら、どのような整数の組み合わせを選んでも左辺は偶数になり、右辺は常に奇数だからです。

9x+12y=4 には整数解がありません。なぜなら、左辺は 3 で割り切れますが、右辺は割り切れないからです。

一般に、与えられたディオファントス方程式を解くには、特別なコンピュータコードが必要になる場合があります。

三角数と六角数は、以下の公式によって生成されます：

• 三角数 -  T_t=t(t+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
• 六角数 - H_h=h(2h−1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

T₁=H₁、 T₃=H₂、および T₅=H₃ であることがわかります。

六角数が三角数と等しくなるのはいつでしょうか？

まず、t が偶数であると仮定して、t=2t₀ と書きます。

したがって、次の方程式を解く必要があります：
2t₀(2t₀+1)/2 = h(2h-1) => 括弧を展開する
2t₀²+t₀ = 2h²-h => 
h+t₀ = 2h² - 2t₀² = 2(h+t₀)*(h-t₀) => 両辺を割る
1 = 2(h-t₀) =>
0.5 = h-t₀
この方程式には**整数解がありません**。
したがって、t は奇数でなければなりません。

次に、t = 2t₁-1 と仮定します。したがって、次の方程式を解く必要があります：
(2t₁-1)*(2t₁)/2 = h*(2h-1) => 括弧を展開する
t₁*(2t₁-1) = h*(2h-1) => t₁ = h。

つまり、t = 2t₁-1 = 2h-1 => T_2h-1=H_h.

これが最終的な答えです。