Таблица отклонений строка за строкой - та часть, за которую ставят оценку.
Обновлено
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Возьмите список чисел и его среднее. Каждое значение стоит на некотором расстоянии от этого среднего, и стандартное отклонение - примерно типичный размер этих расстояний. Их простое среднее не подойдёт, потому что расстояния выше и ниже среднего в точности гасят друг друга до нуля: поэтому каждое сначала возводят в квадрат, квадраты усредняют, а корень в конце снимает квадрат, возвращая ответ в исходные единицы.
Это вся формула, и та часть, за которую действительно ставят оценку, - середина: таблица каждого значения минус среднее, с каждой разностью в квадрате. Эта страница печатает эту таблицу целиком вместе с итогом, который делят обе дисперсии. Конкуренты печатают сигму и останавливаются - то есть ровно ту часть, которую можно было бы посчитать на телефоне.
Делителя два, и разница важна. Делите итог на n, когда ваши числа И ЕСТЬ вся группа - генеральная совокупность. Делите на n − 1, когда это выборка, представляющая нечто большее: собственное среднее выборки лежит чуть слишком близко к её же значениям, и деление на единицу меньше это компенсирует. Здесь всегда показаны оба, так что делитель - ваш выбор, а не выбор страницы.
Сложите все значения и разделите на их количество. Держите точно: если среднее 7/3, не пишите 2,33 - эту ошибку сейчас возведут в квадрат.
Это отклонения. Часть будет отрицательной, и это нормально; для проверки они должны дать в сумме ровно нуль.
Квадрат убирает знаки и придаёт больший вес большим расстояниям. Сложите квадраты: этот итог - сумма квадратов.
На n, если эти значения - вся интересующая вас группа; на n − 1, если это выборка из чего-то большего. Результат - дисперсия.
Это и есть стандартное отклонение. Оно в тех же единицах, что и исходные данные, чего нельзя сказать о дисперсии.
Одни и те же числа при двух делителях. Обратите внимание, как разрыв между ответами сужается с удлинением списка.
| Значения | Среднее | Сумма квадратов | σ (совокупность) | s (выборка) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Восемь значений дают 40, значит среднее 5. Отклонения: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (в сумме нуль, как и должно быть), а их квадраты дают 32. При делении на n = 8 дисперсия равна 4, а корень - ровно 2. Как выборка это было бы 32/7, около 2,138.
1, 2, 3, 4Среднее 2,5, сумма квадратов 5. При делении на 4 дисперсия 5/4, а отклонение √5/2 ≈ 1,118; при делении на 3 - 5/3 и около 1,291. Выборочный ответ всегда больше, потому что среднее выборки прижимается к её собственным значениям слишком тесно.
1, 2, 4Среднее равно 7/3, а не 2,33. Отклонения −4/3, −1/3 и 5/3, их квадраты 16/9, 1/9 и 25/9, в сумме 14/3. Округлив среднее сначала, вы выбросили бы цифру ещё до возведения в квадрат - поэтому каждая строка таблицы здесь дробь.
3, 3, 3Каждое отклонение равно нулю, значит и сумма квадратов, и стандартное отклонение равны нулю. Это единственный способ получить нуль: не «числа маленькие», а «все значения одинаковы».
100, 100, 100, 200Три значения совпадают в точности, одно нет, и стандартное отклонение около 43 - больше четверти всего размаха. Именно возведение расстояний в квадрат даёт этому одному далёкому значению столько веса, и именно поэтому мера хорошо отмечает выбросы.
Делителем. Для совокупности сумма квадратов делится на n, потому что значения - вся группа. Для выборки делят на n − 1, потому что среднее выборки лежит чуть слишком близко к её же значениям, и деление на единицу меньше это компенсирует. Выборочный ответ всегда больше.
Если ваши числа - всё, что вас интересует (оценки всего класса, рост всех шести детей), берите формулу совокупности. Если это выборка, представляющая нечто большее, берите n − 1. Большинство заданий по статистике просит выборочный вариант, и экзаменационные условия почти всегда говорят, какой нужен.
Найдите среднее, вычтите его из каждого значения, возведите каждую разность в квадрат, сложите квадраты, разделите на n (или n − 1) и извлеките корень. Эта страница печатает всю таблицу, чтобы вы сравнивали каждую строку со своим решением, а не только итоговое число.
Потому что иначе они дают точно нуль: положительные и отрицательные расстояния гасятся по самому определению среднего. Квадрат убирает знаки и придаёт больший вес большим расстояниям, поэтому один выброс так сильно двигает стандартное отклонение.
Дисперсия - среднее квадратов отклонений, стандартное отклонение - её корень. Единицы дисперсии возведены в квадрат - квадратные килограммы, квадратные сантиметры - и плохо истолковываются, поэтому корень возвращает ответ в единицы данных.
Отрицательным - никогда: это корень из среднего квадратов. Нулевым - только когда все значения одинаковы, единственный случай без расстояния до среднего. Если получилось отрицательное число, где-то в таблице потерян знак.
Примерно то, насколько далеко от среднего лежит типичное значение. Для данных с колоколообразным распределением около двух третей значений попадают в одно стандартное отклонение от среднего и около 95% - в два, что и делает его стандартной мерой «необычно ли это значение?».
Потому что это точные ответы. Среднее 1, 2 и 4 равно 7/3, и любой квадрат, построенный на 2,33, слегка неверен. Десятичная запись предлагается рядом с точным значением, а не вместо него, и помечается как приближение, когда корень иррационален.
