Уравнение прямой y = mx + b
y = mx + b — самый полезный способ записать прямую, потому что каждое из двух чисел делает ровно одну видимую вещь. Подвигайте их и посмотрите какую.
Обновлено
Уравнение одной и той же прямой можно записать несколькими способами, и y = mx + b — тот, в котором стоит быть беглым. Не потому, что он правильнее, а потому, что его видно: два числа в нём отвечают тем двум вещам, которые вы заметили бы у прямой, если бы вам её нарисовали, — насколько она наклонена и где она стоит.
Подвигайте ползунки. Смотрите, что меняет каждый и, что важнее, что он оставляет как было.
Двигайте m — прямая поворачивается вокруг точки. Двигайте b — вся прямая едет вверх или вниз.
m — наклон, b — высота
Сначала потяните b. Прямая ровно скользит вверх и вниз и в точности сохраняет наклон. Так происходит потому, что b — это значение y при x = 0: подставьте 0 в y = mx + b, первое слагаемое исчезнет и останется y = b. Значит b — та высота, на которой прямая пересекает ось y, а это и есть смысл слов «точка пересечения с осью y». Это точка на рисунке.
Теперь потяните m. Прямая поворачивается вокруг этой точки и никогда её не покидает, потому что изменение m не может изменить значение при x = 0.
Штриховая лестница на рисунке — это то, что m означает. Начните от точки пересечения, сделайте шаг вправо, и m скажет, насколько вы поднялись (или опустились): m = rise/run. При m = 2 вы идёте на один вправо и на два вверх; при m = 1/2 — на один вправо и на половину вверх. Сделайте m отрицательным, и лестница пойдёт вниз — в этом всё содержание фразы «отрицательный наклон значит под уклон».
Поставьте m в 0, и слагаемое с x исчезнет совсем: горизонтальная прямая на высоте b.
Как прочитать это по графику
Так как m и b действуют независимо, можно идти и в обратную сторону. Дана прямая:
- Найдите, где она пересекает ось y. Это число — b.
- От этого пересечения отсчитайте один вправо и посмотрите, насколько нужно подняться или опуститься, чтобы снова оказаться на прямой. Это m.
Вот прямая, которую можно прочитать:
Если при подсчёте выходит неудобное число, отсчитайте дальше: пройти два вбок и обнаружить, что поднялись на три, значит m = 3/2. Наклон — это дробь, и оставить его дробью точнее, чем округлить: именно поэтому ползунок выше показывает 1/2 и никогда 0,5.
Приведение к этому виду
Большинство уравнений приходят не в таком виде. Привести их — это два действия: оставить y в одиночестве, а потом привести в порядок остальное.
Прочитайте последнюю строку: y = -2/3x+2. Значит эта прямая идёт вниз с наклоном две трети и пересекает ось y в 2 — ни того, ни другого не было видно в исходном уравнении. В этом и весь смысл преобразования.
Заметьте, что дробь остаётся дробью. -2/3 в десятичном виде — -0.6666..., и это не наклон, а его округление. У прямой, построенной по такому числу, ошибка растёт тем сильнее, чем дальше вы уходите.
Попробуйте сами
Преобразуйте это уравнение сами. Пишите столько строк, сколько нужно: каждая проверяется.
Когда это начнёт получаться быстро, те же два действия справятся с любой прямой, которую вам дадут, включая те, где дроби стоят в неудобных местах.
Частые вопросы
- Что такое уравнение прямой с угловым коэффициентом?
- Это прямая, записанная как y = mx + b, где m — угловой коэффициент (наклон), а b — точка пересечения с осью y. Преимущество перед другими способами записи той же прямой в том, что оба числа читаются сразу: не нужно ничего считать, чтобы понять, насколько прямая наклонена и где она пересекает ось y.
- Что на самом деле делают m и b?
- m управляет наклоном, b — высотой. Изменение m поворачивает прямую вокруг точки, где она пересекает ось y; изменение b сдвигает всю прямую вверх или вниз, не меняя наклона. Поскольку они действуют независимо, график можно читать в обе стороны — от уравнения к картинке и от картинки к уравнению.
- Как привести уравнение к этому виду?
- Оставьте y в одиночестве с одной стороны, а потом приведите в порядок другую. Перенесите все слагаемые, кроме y, в другую часть, а затем разделите на то, что стоит при y. Получится y = (что-то)x + (что-то), и эти два «что-то» и есть m и b.
- Как выглядит отрицательный наклон?
- Прямая идёт вниз слева направо. Положительный наклон поднимается по мере движения вправо, отрицательный опускается, а наклон, равный нулю, даёт горизонтальную прямую на высоте b. Знак m — самое полезное, что стоит проверить первым, потому что он сразу отсекает половину возможных ответов.
- Почему вертикальную прямую нельзя записать как y = mx + b?
- Потому что у вертикальной прямой одно и то же x для всех y — то есть это вовсе не правило, превращающее x в y, — а её наклон был бы делением на ноль. Вертикальные прямые записывают как x = c. Это единственный случай, который эта форма не покрывает, и именно поэтому общий вид уравнения прямой существует до сих пор.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор