Сложение дробей

У сложения дробей есть репутация, и в узком смысле она заслужена: это единственная из четырёх операций с лишним шагом. Умножение и деление проходят насквозь. Сложение останавливается и требует сначала переписать обе дроби.

Этот лишний шаг - не выдуманное кем-то соглашение. Он вынужден, и полосы ниже - причина.

Части разного размера не считаются вместе

Две верхние полосы - это две дроби. При начальных значениях одна разрезана на половины, а другая на трети — разные разрезы, поэтому и части у них разного размера. Честно сказать, сколько частей у вас всего, невозможно: половина и треть - не одно и то же. «Одна часть плюс одна часть - две части» дало бы 2/5, что меньше даже той половины, с которой вы начали.

Третья полоса это исправляет. Обе дроби перерезаны на шестые: половина становится 3 такими частями, треть - 2, и теперь это части одного размера, которые просто сдвигаются вместе.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Заметьте, что делал знаменатель во время сложения: ничего. Он не складываемое количество, а метка, говорящая, какие части считаются. Три шестых плюс две шестых - пять шестых по той же причине, по которой три яблока плюс два яблока - пять яблок.

Поэтому же складывать знаменатели неверно. 1/4 + 1/4 - это 2/4, половина, а сложение знаменателей дало бы 2/8, четверть - то количество, которое было до всякого сложения.

Если знаменатели уже совпадают, делать нечего

Поставьте на рисунке оба знаменателя одинаковыми, и третья полоса окажется разрезана как две другие, потому что работа уже сделана:

2/7 + 3/7 = 5/7

Сложите числители, сохраните знаменатель, сократите если можно. Это всё правило, а остальная страница существует, чтобы привести вас в эту ситуацию.

Как найти общий знаменатель

Нужно число, на которое делятся оба знаменателя. Два способа его получить:

Наименьший общий знаменатель - самый маленький возможный, наименьшее общее кратное двух знаменателей. Он держит арифметику небольшой.

Перемножить знаменатели работает всегда, не требует размышлений и даёт большие числа, которые сокращаются в конце.

Оба столбца приходят к одному ответу. Правый просто несёт по пути числа побольше, поэтому 1/4 + 1/6 приходит там как 10/24 и требует сокращения до 5/12, тогда как левый путь садится прямо на 5/12.

Смотрите на показания на рисунке, двигая знаменатели: когда один уже делится на другой, общий знаменатель - просто больший из них. 2/5 + 1/10 требует 10, а не 50, потому что пятые уже сделаны из десятых.

Переписать каждую дробь

Когда знаменатель выбран, каждая дробь переписывается умножением её числителя и знаменателя на то, что доводит её до него, - равная дробь, и ничего больше:

3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24

1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24

9/24 + 4/24 = 13/24

Множитель у каждой дроби свой, и это нормально: 8 нужна 3, чтобы дойти до 24, а 6 нужна 4. Одинаковым у обеих должно быть то число, над которым вы в итоге стоите.

Вычитание - та же страница

Всё сказанное выше остаётся в силе, меняется один знак в самом конце:

5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

Общий знаменатель, потом вычтите числители. Если ответ выйдет отрицательным, это настоящий ответ, а не ошибка: 1/4 - 5/6 равно -7/12.

Попробуйте

3/8+1/6

Если получилось 4/14, вы сложили знаменатели. Если получилось 26/48, вы перемножили знаменатели вместо наименьшего общего кратного: величина верная, сократите её и всё равно окажетесь на 13/24.