Сократить 12/16
plain
12/1612 - это 2² · 3, а 16 - это 2⁴. Общее у них 2², значит НОД равен 4: разделив оба члена, получаем 3/4. Деление на 2 дало бы 6/8 - верно, но не до конца, потому что у 6 и 8 остаётся общая 2.
Калькулятор сокращения дробей
Сократите любую дробь до несократимого вида - общий множитель находится, а не заявляется.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Сократить дробь - это одно деление, выполненное над обоими членами
Дробь не меняет значения, если оба её члена умножить или разделить на одно и то же число: 12/16, 6/8 и 3/4 - это одна величина в трёх записях. Сократить значит разделить числитель и знаменатель на всё общее, пока общего не останется. Это число и есть их наибольший общий делитель, и найти нужно только его.
Большинство калькуляторов печатают сокращённую дробь и на этом останавливаются, скрывая самую интересную половину. Здесь оба члена сначала разложены на простые множители: 12 - это 2² · 3, а 16 - это 2⁴, общее у них 2², значит множитель равен 4. Вот почему именно 4, а не 2 и не 8 - и увидев это два-три раза, вы перестанете нуждаться в калькуляторе, в чём и смысл.
Всё точно. 1/3 показывается как 0.333… с отмеченным периодом, а не как 0.3333333333; одна шестая в процентах - это 16⅔%, а не 16.67%; у смешанного числа знак относится ко всей величине, поэтому -2 3/4 равно -11/4 и никогда -5/4.
На что обратить внимание
- Несократимый вид означает, что у членов нет общего делителя больше 1. Это и есть условие остановки, а не «числа выглядят маленькими».
- Делить нужно на наибольший общий делитель. На меньший общий множитель тоже можно, просто потребуется несколько кругов: 12/16 на 2 даёт 6/8, а там нужна ещё одна 2.
- Сокращение дроби и поиск НОД - одна и та же задача. Умеете одно - умеете и другое: два калькулятора здесь специально идут одним путём.
- Дробь со взаимно простыми членами уже готова. 7/9 не сокращается, и услышать это - ответ, а не неудача.
- Сокращение не меняет ни десятичную запись, ни процент, потому что не меняет значения. Это бесплатная проверка: если десятичная запись сдвинулась, вы разделили только один член.
Как сократить дробь
Сначала смешанное число
Если впереди стоит целое, внесите его: умножьте целое на знаменатель и прибавьте числитель. 2 6/8 превращается в (2 · 8 + 6)/8 = 22/8. Знак, если он есть, относится ко всей величине.
Разложите оба члена на простые множители
22 - это 2 · 11, а 8 - это 2³. Именно запись разложения делает общие множители видимыми, а не угадываемыми.
Перемножьте общие простые множители
Возьмите каждое простое, которое есть у обоих, столько раз, сколько оно есть у обоих. Здесь это одна 2, значит наибольший общий делитель равен 2.
Разделите оба члена на него
22 ÷ 2 = 11 и 8 ÷ 2 = 4, значит дробь равна 11/4. Проверьте завершение: у 11 и 4 нет общего, значит это несократимый вид.
Запишите так, как требует задание
11/4 больше единицы, поэтому это можно записать и смешанным числом 2 3/4 - то же значение и обычно ожидаемая форма, если задание начиналось со смешанного числа.
Дроби в несократимом виде
Одни и те же восемь величин во всех обличьях: данная дробь, выходящий множитель, сокращённый вид, точная десятичная запись и точный процент.
| Дробь | НОД | Несократимый вид | Десятичная | Процент |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
Разобранные примеры
Уже готовая: 7/9
plain
7/97 - простое, 9 - это 3², общего больше 1 у них нет, и дробь не сокращается. Страница так и говорит, вместо того чтобы изображать работу: «уже несократима» - это ответ на заданный вопрос.
Крупная: 84/126
plain
84/12684 - это 2² · 3 · 7, а 126 - это 2 · 3² · 7. Общее: одна 2, одна 3 и одна 7 - значит множитель 42, и дробь сразу падает до 2/3. Увидеть 42 на глаз трудно; прочитать её по двум разложениям - нет.
Смешанное число: 2 6/8
plain
2 6/8Сначала внесите: 2 · 8 + 6 = 22, то есть 22/8. Затем сократите на 2 до 11/4 и запишите обратно как 2 3/4. Целое трогать не пришлось - сокращалась только дробная часть.
Дающая целое: 18/6
plain
18/6Наибольший общий делитель равен 6, и деление обоих членов даёт 3/1, то есть просто 3. Черта дроби над пустотой читается как ошибка, поэтому ответ записан обычной тройкой.
Частые ошибки
- Разделить только один член. 12/16 - это не 3/16: что делаете сверху, делайте и снизу, иначе вы изменили значение.
- Остановиться слишком рано. 6/8 - верное сокращение 12/16 и всё ещё не ответ: почти любая проверка требует несократимый вид.
- Вычитать вместо деления. 12/16 - это не 8/12 «потому что я отнял по 4». Дробь - это отношение: только умножение и деление оставляют её нетронутой.
- Сокращать через сумму. В (4 + 6)/2 нельзя сократить 4 с 2: двойка делит весь числитель, поэтому сложение идёт первым.
- Ставить знак смешанного числа у дробной части. -2 3/4 значит -(2 + 3/4) = -11/4. Прочитанное как -2 + 3/4 это даёт -5/4 - совсем другое число.
- Округлять по дороге. Если нужны десятичная запись или процент, сначала получите точную дробь: 1/3, записанная как 0.33, больше не одна третья.
Вопросы о сокращении дробей
Как сократить дробь?
Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Для 12/16 этот множитель равен 4, получается 3/4. Если множитель не виден, разложите оба числа на простые и перемножьте общие: это произведение И ЕСТЬ наибольший общий делитель.
Что значит «несократимый вид» или «простейший вид»?
Что у числителя и знаменателя нет общего делителя больше 1. 3/4 несократима; 6/8 - нет, потому что оба члена всё ещё чётные. Обе формулировки означают ровно одно и то же.
Как понять, что дробь не сокращается?
Когда наибольший общий делитель членов равен 1 - тогда их называют взаимно простыми. Быстрая проверка: если числитель простой и не делит знаменатель, всё готово. 7/9, 5/12 и 13/20 завершены как есть.
Работает ли это для смешанных и неправильных дробей?
Да. Смешанное число сначала превращается в одну дробь (2 6/8 становится 22/8), сокращается и записывается обратно смешанным, если оно больше единицы. Неправильные дроби обрабатываются так же, и вам дают обе формы ответа.
Почему ответ показывает периодическую дробь, а не округлённую?
Потому что это разные числа. Одна третья - это 0.333… без конца, а 0.333 - не одна третья: она меньше на три тысячных от тысячной. Отметить период - единственный честный способ записать значение, поэтому страница не округляет.
Сокращение дроби - это то же, что поиск НОД?
На практике да: вся работа состоит в том, чтобы найти наибольший общий делитель и выполнить с ним одно деление. Поэтому эта страница показывает оба разложения, и поэтому калькулятор НОД здесь идёт тем же путём: один навык под двумя названиями.
Обязательно ли сокращать ответы?
Почти всегда да. Несокращённая дробь не ошибочна по значению, но большинство критериев проверки дают балл за несократимый вид, а сравнивать дроби намного проще, когда обе сокращены. Исключение - задание, требующее определённый знаменатель.
