Русский
Решите любое квадратное уравнение с полным решением и точными значениями.
Обновлено
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Квадратное уравнение — любое, которое можно записать как ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Формула x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a решает их все без исключения, и это стоит оценить. Разложение на множители работает только тогда, когда числа оказались удобными; выделение полного квадрата работает всегда, но требует навыка; формула работает всегда и требует лишь аккуратности.
Настоящая работа происходит под корнем. b² - 4ac называется дискриминантом, и его знак определяет вид ответа раньше, чем вы посчитаете что-либо ещё: положительный — два корня, ноль — один двукратный, отрицательный — действительных решений нет. Посмотреть сначала на дискриминант — самый быстрый способ потом заметить арифметическую ошибку, потому что вы уже знаете, какого рода ответ ожидать.
Формула — не один ход, и это самое частое о ней заблуждение. Это короткая процедура: подставить, вычислить дискриминант, извлечь корень, разделить ±, затем упростить каждую ветку. Этот калькулятор проходит все пять, чтобы вы увидели, на какой ошиблись бы.
Впишите a, b и c в поля. Подходят целые числа, десятичные и дроби вида 1/2. Отсутствующее слагаемое означает нулевой коэффициент: для x² - 4 = 0 коэффициент b равен 0.
Впишите что-то вроде 2x^2 - 5x + 2 = 0 в поле уравнения и нажмите Прочитать. Слагаемые с обеих сторон автоматически собираются влево, так что 3x^2 = 2x + 1 тоже работает.
Четвёртый шаг даёт b² - 4ac. Заметьте его знак и предскажите вид ответа — два корня, один или ни одного — прежде чем листать дальше.
Если ваш ответ не совпал, полезный вопрос не «какое число верное», а «на каком шаге пути разошлись». Найдите эту строку — и ошибка объяснит себя сама.
Формула — не аксиома. Это то, что получается, если один раз выделить полный квадрат в общем уравнении, чтобы больше никому не пришлось делать это со своими числами. Пройти вывод один раз — вот разница между «помню формулу» и «знаю формулу».
a x^2 + b x + c = 0
a не может быть нулём: без члена с x² решать нечего, да и 2a в знаменателе тоже обратилось бы в ноль.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Для выделения полного квадрата нужен чистый x², поэтому a приходится убрать из начала. На этом же шаге a попадает в знаменатель, где и остаётся до конца.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Половина b/a — это b/2a, а её квадрат — b²/4a². На этом ходе держится весь вывод: именно этого левой части не хватало, чтобы стать полным квадратом.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Вот и дискриминант, b² - 4ac, появляется сам собой ещё до того, как ему дали имя.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Оба знака, потому что оба в квадрате дают одно и то же. Из √(4a²) выходит |2a|, а стоящий впереди ± в любом случае поглощает знак.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
Ни в одной из этих семи строк не участвовали конкретные a, b и c — поэтому результат верен для любого квадратного уравнения. Поэтому же дискриминант задаёт вид ответа: это число под корнем, и если оно отрицательное, шестому шагу некуда идти.
Значение b² - 4ac определяет всё о виде ответа ещё до того, как извлечён хоть один корень.
| Дискриминант | Действительные корни | График | Пример |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Два различных действительных корня | Пересекает ось x дважды | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Один двукратный корень | Касается оси x один раз | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Действительных решений нет | Никогда не достигает оси x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Полный квадрат | Два рациональных корня | Пересекает в двух дробях или целых | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Положительный, не квадрат | Два иррациональных корня | Пересекает в двух корнях | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Дискриминант равен (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Его корень — ровно 1, поэтому корни (5 + 1)/2 = 3 и (5 - 1)/2 = 2. Поскольку дискриминант — полный квадрат, оба корня рациональны, и уравнение также разлагается как (x - 3)(x - 2) = 0. Это тот случай, когда разложение на множители было бы быстрее.
a = 2, b = -5, c = 2Дискриминант равен 25 - 16 = 9, значит √9 = 3, и корни (5 + 3)/4 = 2 и (5 - 3)/4 = 1/2. Обратите внимание: второй корень остаётся 1/2 и никогда не показывается как 0,5 — дробь есть точное значение, а десятичная запись лишь его приближение, которое случайно оказалось коротким.
a = 1, b = -4, c = 1Дискриминант равен 16 - 4 = 12, и это не полный квадрат. √12 упрощается до 2√3, поэтому корни (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Именно здесь большинство калькуляторов начинают печатать 3,7320508 и перестают быть полезными: ответ — 2 + √3, а любая десятичная запись есть его округление.
a = 1, b = 2, c = 5Дискриминант равен 4 - 20 = -16. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому у уравнения нет действительных решений, и решение на этом останавливается. Парабола целиком лежит выше оси x. Если ваш курс дошёл до комплексных чисел, корни равны -1 ± 2i, но считается ли это ответом, зависит от того, в какой числовой системе вас учили работать.
