Таблица умножения
Вся таблица — и та единственная картинка, которая превращает её из списка для заучивания в форму, которую можно читать: прямоугольник, который считает каждое произведение.
Обновлено
Напечатанная на бумаге таблица умножения отвечает на один вопрос: сколько будет 7 на 8. Телефон отвечает на него тоже, и быстрее. Таблица умеет то, чего не умеет калькулятор, — показать, где живёт ответ. А как только это видно, таблица перестаёт быть девяноста с лишним фактами для заучивания и становится формой с парой неудобных углов.
Наведите на любую клетку ниже.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||||||
| 2 | ||||||||||
| 3 | ||||||||||
| 4 | ||||||||||
| 5 | ||||||||||
| 6 | ||||||||||
| 7 | ||||||||||
| 8 | ||||||||||
| 9 | ||||||||||
| 10 |
Наведите на любую клетку. Затенённый блок — это то, что считает ответ; поэтому таблица симметрична относительно своей диагонали.
Каждый ответ — это прямоугольник
Наведите на 7 и 8 и посмотрите, что подсветилось. Это не только крест, проходящий через вашу клетку, — это весь блок от левого верхнего угла до неё: семь рядов по восемь клеток. Ответ и есть количество клеток в этом блоке.
Это и есть умножение. 7*8 — не факт о символах 7 и 8, а число предметов в расстановке 7 на 8. Таблица — это картинка всех таких расстановок сразу, разложенных по двум сторонам.
Отсюда сразу следуют две полезные вещи.
Таблица симметрична, значит учить надо вдвое меньше
Поверните прямоугольник 7 на 8 на четверть оборота — получится 8 на 7. Те же клетки, то же количество. Значит, ответ в 7-й строке и 8-м столбце обязан совпасть с ответом в 8-й строке и 7-м столбце — и он совпадает везде.
Проведите пальцем по диагонали из левого верхнего угла: 1, 4, 9, 16, 25… Всё, что ниже этой диагонали, — зеркальное отражение того, что выше. Вы никогда не учите 7*8 и 8*7 как два факта. Вы учите один и читаете его двумя способами.
Трудных случаев шесть. Остальное — даром.
Вычеркните строки, которые ничего не стоят:
| строка | почему даром |
|---|---|
| ×1 | само число |
| ×2 | удвоить |
| ×5 | половина от десяти раз, поэтому кончается на 5 или 0 |
| ×10 | приписать ноль |
| ×11 (до 9) | повторить цифру |
| ×9 | на один меньше десятикратного, а цифры всегда дают 9 |
Теперь вычеркните всё под диагональю — это зеркало того, что над ней. Остаётся вот что: 6*6, 6*7, 6*8, 7*8, 8*8 и 12*12.
Шесть случаев. Это вся трудная часть таблицы умножения — а люди годами повторяют остальные девяносто.
Смотреть на таблицу — не значит её выучить
Вот к чему стоит отнестись всерьёз. Разглядывать заполненную таблицу похоже на учёбу и почти бесполезно, потому что узнать ответ куда легче, чем его произвести. Вы узнаете 56 как «дело 7 и 8» задолго до того, как сможете назвать его с ходу.
Поэтому переключите таблицу выше в режим проверки. Сетка пустеет, вы выбираете клетку и должны ответить до того, как что-то откроется. Те произведения, что вы не назвали, и есть короткий список для отработки — и он будет коротким, скорее всего это те самые шесть.
Попробуйте
Этот случай почти у всех в списке трудных — поэтому здесь именно он, а не 12*2.
Где таблицы перестаёт хватать
Сетка — это справочник произведений, а произведения — лишь половина того, что делают с двумя числами. Как только вопрос спрашивает, какие числа делят данное — какие пары в произведении дают 24, например, — вы читаете таблицу задом наперёд, а это уже другой навык со своим названием: делители.
Перед уходом стоит ещё раз взглянуть на диагональ. Эти числа — 1, 4, 9, 16, 25, 36 — получаются, когда прямоугольник оказывается квадратом, и дальше в алгебре они встречаются постоянно.
Частые вопросы
- Как читать таблицу умножения?
- Найдите первое число в верхней строке, второе — в левом столбце. Спуститесь от одного и пройдите от другого: там, где они встретятся, стоит ответ. Порядок при умножении неважен, так что начинать можно с любого — именно поэтому таблица симметрична относительно своей диагонали.
- Почему таблица умножения симметрична?
- Потому что 7 рядов по 8 и 8 рядов по 7 — это один и тот же набор клеток, повёрнутый на четверть оборота. Любой прямоугольник читается в обе стороны, поэтому клетка на пересечении 7-й строки и 8-го столбца обязана совпадать с клеткой 8-й строки и 7-го столбца. Эта симметрия почти вдвое сокращает то, что нужно выучить.
- Какие случаи в таблице умножения самые трудные?
- Если убрать те, что достаются даром — на 1, на 2, на 5 и на 10, плюс всё, что вы уже знаете в другом порядке, — останется всего около шести по-настоящему трудных: 6x6, 6x7, 6x8, 7x8, 8x8 и 12x12. Почти у всех трудности с одними и теми же, и отработать эти шесть куда выгоднее, чем повторять всю сетку.
- Брать таблицу 10x10 или 12x12?
- Берите 12x12. Две лишние строки почти ничего не стоят: одиннадцать до 11x9 достаётся даром, а двенадцать встречаются постоянно — в часах, деньгах и мерах. В ряде стран останавливаются на 10, и этот пробел даёт о себе знать позже, когда в задаче просят 12 штук чего-нибудь.
- Как быстрее всего выучить таблицу умножения?
- Проверять себя, а не перечитывать. Смотреть на заполненную таблицу кажется учёбой и почти ничему не учит: узнать ответ намного легче, чем его произвести. Спрячьте сетку, задайте себе вопрос и только потом проверьте. Режим проверки ниже делает ровно это, а те произведения, которые вы не назвали, и есть тот короткий список, который стоит отрабатывать.
Хотите проверить на своих числах?
Калькулятор НОД Открыть калькулятор