Единичная окружность
Единичная окружность, или тригонометрический круг, это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка на ней при любом угле равна (cos, sin), поэтому одна схема содержит все табличные значения синуса, косинуса и тангенса.
Обновлено
Тригонометрический круг ниже показывает синус и косинус во всех шестнадцати табличных углах, в градусах и в радианах. Переключите его, чтобы добавить tg, или выберите пустой круг, который можно распечатать и заполнить.
Тригонометрический круг с градусами и радианами
Таблица значений на единичной окружности
Все значения со схемы в одной таблице. Тангенс равен синусу, делённому на косинус, поэтому там, где cos равен 0, значения нет.
| Градусы | Радианы | cos | sin | tg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | не определён |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | не определён |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Почему точка равна (cos, sin)
Потяните точку по окружности и следите за двумя пунктирными катетами.
Потяните точку. Зелёный катет это cos, а красный это sin, поэтому точка и есть (cos, sin).
Радиус окружности равен 1, и в этом весь секрет. Проведите из центра отрезок до окружности под некоторым углом, затем опустите из этой точки перпендикуляр на ось x. Получится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза совпадает с радиусом, то есть гипотенуза равна 1.
В этом треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет горизонтальный, а гипотенуза равна 1, поэтому косинус и есть горизонтальный катет. По тому же рассуждению синус равен вертикальному катету. Значит, точка равна (cos(x), sin(x)): сначала расстояние по горизонтали, потом по вертикали, x перед y.
Три числа, которые действительно нужны
В первой четверти лежат все значения, которые использует окружность:
| угол | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Три разных значения: 1/2, √2/2 и √3/2. Заметьте, что у 30° и 60° одна и та же пара, только переставленная. Эти углы в сумме дают 90°, поэтому их треугольники совпадают: это один треугольник, увиденный с другого конца.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Каждый угол вне первой четверти использует одно из этих трёх чисел со знаком. Чтобы его найти, возьмите опорный угол, то есть угол между отрезком и осью x: 150° на 30° меньше 180°, поэтому его опорный угол равен 30°, а значения у него те же, что у 30°, только с новыми знаками.
Знаки зависят от того, где находится точка. Cos задаёт расстояние по горизонтали, поэтому он отрицателен на левой половине окружности. Sin задаёт расстояние по вертикали, поэтому он отрицателен на нижней половине. На схеме каждая четверть отмечена знаками (cos, sin):
| четверть | углы | cos | sin | tg |
|---|---|---|---|---|
| I | от 0° до 90° | + | + | + |
| II | от 90° до 180° | − | + | − |
| III | от 180° до 270° | − | − | + |
| IV | от 270° до 360° | + | − | − |
Значит, 150° даёт (−√3/2, 1/2), а 210°, у которого опорный угол тоже 30°, даёт (−√3/2, −1/2).
Единичная окружность в радианах
Полный оборот равен 360° и одновременно 2π радиан, потому что длина окружности радиуса 1 равна 2π: один радиан соответствует дуге длиной в один радиус. Половина оборота равна 180°, или π.
Отсюда табличные углы получаются как доли половины оборота. 30° составляет шестую часть 180°, то есть π/6; 45° составляет четверть, π/4; 60° треть, π/3. Знаменатель показывает, сколько таких углов помещается в половину оборота, а числитель их считает: 150° составляет пять шестых половины оборота, 5π/6.
Тангенс на единичной окружности
Тангенс равен отношению sin(x)/cos(x), то есть наклону отрезка от центра к точке. При 45° sin и cos равны, поэтому tg равен ровно 1. При 30° он равен √3/3, а при 60° √3.
При 90° точка находится прямо наверху, в (0, 1), поэтому cos равен 0 и tg не существует: нет числа, равного 1, делённому на 0, а у вертикальной прямой нет наклона. То же самое при 270°. Во всех остальных углах tg подчиняется правилу знаков: он положителен, где у sin и cos одинаковые знаки (четверти I и III), и отрицателен, где знаки разные. Вариант схемы с tg показывает каждое значение.
Тест и тренировка по тригонометрическому кругу
Переключите окружность выше в режим Проверь меня: она скроет значения, вы назовёте их и проверите себя. Или ответьте на этот вопрос по памяти:
Чтобы потренироваться на бумаге, распечатайте пустую схему и заполните все шестнадцать точек. Если получается меньше чем за две минуты без подсказок, вы знаете единичную окружность.
Частые вопросы
Что такое единичная окружность?
Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Проведите из центра луч под углом и отметьте, где он пересекает окружность: координаты этой точки в точности равны (косинус угла, синус угла). Так окружность превращает вопрос о треугольниках в вопрос о координатах, а его гораздо легче представить.
Какие значения на единичной окружности?
В шестнадцати табличных углах каждая координата равна одному из чисел 0, 1/2, √2/2, √3/2 или 1, со знаком. В первой четверти: 30° даёт (√3/2, 1/2), 45° даёт (√2/2, √2/2), а 60° даёт (1/2, √3/2). Любой другой табличный угол повторяет одну из этих пар со знаками своей четверти. В таблице на этой странице есть все шестнадцать, вместе с tg.
Где взять тригонометрический круг для печати или пустой?
Здесь. Схему вверху страницы можно скачать как PDF формата Letter или как PNG в трёх вариантах: с координатами, с координатами и tg, и пустую. В пустой остаются окружность, оси и шестнадцать точек, чтобы вы сами подписали каждую.
Почему точка на окружности (cos, sin), а не (sin, cos)?
Потому что косинус измеряет расстояние по горизонтали, а горизонтальная координата у точки x. Опустите из точки перпендикуляр на ось x, и получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Горизонтальный катет прилежит к углу, поэтому он равен cos, делённому на 1, то есть просто cos. Вертикальный катет противолежащий, поэтому он равен sin.
Как запомнить единичную окружность?
Выучите три числа и одно правило. Числа: 1/2, √2/2 и √3/2, значения первой четверти. Правило касается знака: cos отрицателен на левой половине окружности, а sin на нижней. Любой другой угол даёт значение из первой четверти с этими знаками, а найти его помогает опорный угол.
Как перевести градусы в радианы?
Полный оборот равен 360 градусам и одновременно 2π радиан, значит, половина оборота равна 180 градусам и π радиан. Умножьте градусы на π/180, чтобы получить радианы, или радианы на 180/π, чтобы получить градусы. Так, 30° равно π/6, 45° равно π/4, 60° равно π/3, а 90° равно π/2.
Почему тангенс 90 градусов не существует?
Тангенс равен синусу, делённому на косинус. При 90° точка находится прямо наверху, в (0, 1), поэтому cos равен 0, а на 0 делить нельзя. То же самое при 270°. На окружности это тоже видно: tg равен наклону луча из центра, а у вертикальной прямой наклона нет.
Эта и все связанные формулы на одном листе для печати:
Тригонометрические формулы