Единичная окружность
Одна окружность радиуса 1 — и в ней все значения синуса, косинуса и тангенса, которые вас попросят помнить. Потяните угол и посмотрите, откуда берутся числа.
Обновлено
Почти всё, что кажется трудным в тригонометрии, — на самом деле проблема памяти: слишком много значений, слишком много знаков и никакого способа проверить, правдоподобно ли то, что вы только что записали. Единичная окружность это лечит. Это одна картинка, в которой лежит каждое нужное вам значение и на которой неверный знак выглядит очевидно неверным.
Потяните точку ниже. Следите за двумя штриховыми катетами, пока идёте по кругу.
Потяните точку. Зелёный катет — это cos, красный — sin; поэтому точка и есть (cos, sin).
Почему точка — это (cos, sin)
Радиус окружности равен 1, и в этом весь фокус.
Проведите из центра прямую до окружности под каким-нибудь углом, а затем опустите из этой точки перпендикуляр на ось x. Теперь у вас прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — радиус, то есть гипотенуза равна 1.
В этом треугольнике косинус равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу. Прилежащий катет — горизонтальный, а гипотенуза равна 1, значит косинус и есть горизонтальный катет: деление на 1 ничего не меняет. То же рассуждение делает синус вертикальным катетом.
Поэтому координаты точки — в точности (cos(x), sin(x)): сначала горизонтальное расстояние, потом вертикальное. Вот почему зелёный катет на рисунке подписан как косинус, а красный как синус, и вот почему порядок начинается с косинуса: x раньше y, горизонталь раньше вертикали.
Тангенс — третий, и он не длина на картинке: это отношение sin(x)/cos(x), то есть наклон проведённой вами прямой.
Три числа, которые действительно нужны
Поставьте рисунок по очереди на 30, 45 и 60 градусов и посмотрите на значения:
| угол | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Три разных значения — 1/2, sqrt(2)/2 и sqrt(3)/2 — и заметьте, что 30° и 60° дают ту же пару, поменянную местами. Это не совпадение: два угла в сумме дают 90°, значит их треугольники — один и тот же треугольник, рассмотренный с другого конца.
Всё в остальных трёх четвертях — это одно из тех трёх чисел со знаком впереди. Какой знак, решает место, и его можно прочитать прямо с рисунка: косинус — это горизонтальное расстояние, значит он отрицателен в левой половине окружности. Синус — вертикальное расстояние, значит он отрицателен в нижней половине. Заучивать нечего — просто смотрите, куда направлен катет.
Градусы и радианы — это один и тот же угол
Переключите рисунок на радианы и пройдите по кругу снова. В картинке не меняется ничего; меняется только подпись.
Полный оборот — это 360° и одновременно 2pi радиан, потому что длина окружности радиуса 1 равна 2pi, то есть «один радиан» значит «дуга длиной в один радиус». Половина оборота — это 180° или pi. Дальше табличные углы становятся очевидными долями половины оборота: 30° — шестая часть от 180°, то есть pi/6; 45° — четвёртая, pi/4; 60° — третья, pi/3.
Радианы выглядят сложнее, а на деле проще, потому что знаменатель прямо говорит, сколько таких углов укладывается в половину оборота.
Где тангенс ломается
Потяните до 90° — и в строке тангенса написано не определён. Это не ограничение инструмента, это арифметика. При 90° точка стоит прямо сверху, в (0, 1), значит cos(x) равен 0, а тангенс — sin(x)/cos(x). Числа, равного 1, делённой на 0, не существует.
То же происходит при 270°. Во всех остальных местах тангенс — совершенно обычное число, а при 45° он равен ровно 1, что понятно: там синус и косинус равны, а всякое число, делённое на себя, даёт 1.
Попробуйте сами
Отложите рисунок на минуту и ответьте по памяти. Если ошибётесь, окружность рядом.
Если пришлось подглядеть — это тоже полезно знать: значит картинка ещё не стала автоматической, и десяток таких задач — как раз то, что это меняет.
Частые вопросы
- Что такое единичная окружность?
- Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Её польза следует из одного факта: если провести из центра прямую под некоторым углом и отметить, где она пересекает окружность, то координаты этой точки в точности равны (косинус угла, синус угла). Так окружность превращает вопрос о треугольниках в вопрос о координатах, а его гораздо легче представить.
- Почему точка равна (cos, sin), а не (sin, cos)?
- Потому что косинус измеряет горизонтальное расстояние, а координата x — как раз горизонтальная. Опустите из точки перпендикуляр на ось x и получите прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Горизонтальный катет прилежит к углу, значит он равен косинусу, делённому на 1, то есть самому косинусу. Вертикальный катет противолежащий, значит это синус. Поэтому координата x — косинус, а y — синус, именно в таком порядке.
- Нужно ли заучивать всю единичную окружность?
- Нет, и попытка это сделать — обычная ошибка. Нужных значений всего три: 1/2, √2/2 и √3/2 — плюс одно правило знаков. Всё остальное — это те же три числа со знаком плюс или минус впереди, а знак определяет четверть. Выучите первую четверть и правило знаков, и все шестнадцать углов у вас есть.
- Как переводить градусы в радианы?
- Полный оборот — это 360 градусов и одновременно 2π радиан, значит половина оборота — 180 градусов и π радиан. Отсюда и перевод: градусы умножить на π/180 — получатся радианы, радианы умножить на 180/π — получатся градусы. На практике это почти никогда не считают: 30, 45, 60 и 90 градусов — это π/6, π/4, π/3 и π/2, а любой другой табличный угол кратен им.
- Почему тангенс не определён при 90 градусах?
- Потому что тангенс — это синус, делённый на косинус, а при 90 градусах косинус равен 0. Делить на ноль нельзя, значит значения там у тангенса нет. На графике тангенса это видно как вертикальная асимптота: чем ближе угол к 90 градусам, тем дальше уходит значение, никуда не приходя.
