Точные квадраты
Точный квадрат — это не число с загадочным свойством, которое надо где-то посмотреть. Это количество, которое можно выложить настоящим квадратом, а всё остальное следует отсюда.
Обновлено
«Точный квадрат» звучит как ярлык, который кто-то повесил на список чисел, и теперь этот список надо выучить. Это не так. Название описывает форму, и как только форма видна, список перестаёт нуждаться в заучивании.
Подвигайте ползунок. Смотрите, что добавляется на каждом шаге.
Сдвиньте ползунок на один шаг. Затенённая «Г» — это то, что добавилось; посчитайте её, и вы получите разницу между двумя соседними квадратами.
Название буквальное
6^2 = 36 не означает «над числом 6 выполнили операцию возведения в квадрат». Оно означает: возьмите 36 клеточек — их можно выложить квадратом со стороной 6. Возьмите 35 — нельзя: всегда останется дыра или выступ. Это и есть всё определение, и поэтому слово именно «квадрат», а не что-то отвлечённое.
Прочитайте ту же картинку наоборот — и получите квадратные корни. sqrt(36) = 6 — это вопрос «если 36 клеточек составляют квадрат, какова его сторона?». Целый квадратный корень у числа есть ровно тогда, когда оно точный квадрат, — поэтому эти две идеи всегда идут вместе.
Список, который стоит знать
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Двадцать строк покрывают практически любое школьное задание, потому что задачи строятся от ответа — от такого, который можно проверить.
Разности — это нечётные числа
Ради этого ползунок и нужен. Сдвиньте его с 5 на 6 и сосчитайте появившуюся затенённую «Г»: пять клеток вдоль новой стороны, пять сверху и одна в углу. Одиннадцать.
В общем случае переход от n^2 к (n+1)^2 добавляет 2n+1 клеток — всегда нечётное число. Поэтому разности соседних квадратов идут 3, 5, 7, 9, 11, 13…, а сумма нечётных чисел по порядку даёт квадраты по порядку:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Это ещё и по-настоящему быстрый способ продолжить таблицу в уме. Если знаете, что 14^2 = 196, а нужен 15^2, прибавьте 2*14 + 1 = 29: 225.
Как узнать квадрат без калькулятора
Два фильтра доведут почти до конца.
Посмотрите на последнюю цифру. Возведите любое число в квадрат — оно оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 и никогда на 2, 3, 7 или 8. Значит, 4398 — не точный квадрат, и работать не пришлось вовсе. Это не случайность: последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей, а квадраты цифр от 0 до 9 дают лишь эти шесть окончаний.
Затем зажмите между известными. 200 лежит между 14^2 = 196 и 15^2 = 225, так что не осталось целого числа, квадратом которого оно могло бы быть. Любое число строго между двумя соседними квадратами квадратом не является.
Почему они встречаются постоянно
Точные квадраты — причина того, что одни квадратные выражения раскладываются красиво, а другие нет. x^2 - 49 распадается как разность квадратов, потому что 49 — квадрат; x^2 - 50 не распадается. Они же заставляют упрощаться корень: sqrt(75) превращается в 5sqrt(3) именно потому, что внутри 75 спрятан точный квадрат 25.
Попробуйте
И ещё один — в обратную сторону, уравнение, а не справка. Обратите внимание: у него два ответа, и именно на этом чаще всего ошибаются с корнями:
И 7, и -7 в квадрате дают 49, так что оба — решения. Символ sqrt(49) обозначает только положительный: это соглашение о символе, а не факт об уравнении.
Частые вопросы
- Что такое точный квадрат?
- Целое число, полученное умножением какого-нибудь целого числа само на себя. 9 — точный квадрат, потому что 3 умножить на 3 даёт 9; 10 — нет, потому что ни одно целое число, умноженное само на себя, не даёт 10. Название буквально: ровно столько клеточек можно выложить в виде квадрата.
- Какие точные квадраты от 1 до 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100 — квадраты чисел от 1 до 10. Дальше идут 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 и 400, что доводит до 20 в квадрате и покрывает почти всё, что спрашивают в школе.
- Как узнать, является ли число точным квадратом?
- Два быстрых фильтра, затем проверка. Точный квадрат никогда не оканчивается на 2, 3, 7 или 8, так что такие отсеиваются сразу. Если число прошло, найдите ближайший известный квадрат: 200 лежит между 196 и 225, значит, это не квадрат. Только пройдя оба фильтра, стоит извлекать корень.
- Почему разности между точными квадратами — нечётные числа?
- Потому что переход от квадрата со стороной n к квадрату со стороной n+1 — это полоса сбоку, полоса сверху и одна клетка в углу: n + n + 1, а это всегда нечётно. Поэтому разности идут 3, 5, 7, 9…, и сумма нечётных чисел по порядку даёт квадраты по порядку.
- Является ли 0 точным квадратом?
- Да. 0 умножить на 0 даёт 0, что в точности отвечает определению. Некоторые школьные списки начинают с 1, потому что квадрат без стороны трудно представить, но в определении нет ничего, что бы его исключало, и считать 0 квадратом удобнее для дальнейшей алгебры.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор