Точные квадраты
Точный квадрат — это не число с загадочным свойством, которое надо где-то посмотреть. Это количество, которое можно выложить настоящим квадратом, а всё остальное следует отсюда.
Обновлено
«Точный квадрат» звучит как ярлык, который кто-то повесил на список чисел, и теперь этот список надо выучить. Это не так. Название описывает форму, и как только форма видна, список перестаёт нуждаться в заучивании.
Подвигайте ползунок. Смотрите, что добавляется на каждом шаге.
Сдвиньте ползунок на один шаг. Затенённая «Г» — это то, что добавилось; посчитайте её, и вы получите разницу между двумя соседними квадратами.
Название буквальное
6^2 = 36 не означает «над числом 6 выполнили операцию возведения в квадрат». Оно означает: возьмите 36 клеточек — их можно выложить квадратом со стороной 6. Возьмите 35 — нельзя: всегда останется дыра или выступ. Это и есть всё определение, и поэтому слово именно «квадрат», а не что-то отвлечённое.
Прочитайте ту же картинку наоборот — и получите квадратные корни. sqrt(36) = 6 — это вопрос «если 36 клеточек составляют квадрат, какова его сторона?». Целый квадратный корень у числа есть ровно тогда, когда оно точный квадрат, — поэтому эти две идеи всегда идут вместе.
Список, который стоит знать
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Двадцать строк покрывают практически любое школьное задание, потому что задачи строятся от ответа — от такого, который можно проверить.
Разности — это нечётные числа
Ради этого ползунок и нужен. Сдвиньте его с 5 на 6 и сосчитайте появившуюся затенённую «Г»: пять клеток вдоль новой стороны, пять сверху и одна в углу. Одиннадцать.
В общем случае переход от n^2 к (n+1)^2 добавляет 2n+1 клеток — всегда нечётное число. Поэтому разности соседних квадратов идут 3, 5, 7, 9, 11, 13…, а сумма нечётных чисел по порядку даёт квадраты по порядку:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Это ещё и по-настоящему быстрый способ продолжить таблицу в уме. Если знаете, что 14^2 = 196, а нужен 15^2, прибавьте 2*14 + 1 = 29: 225.
Как узнать квадрат без калькулятора
Два фильтра доведут почти до конца.
Посмотрите на последнюю цифру. Возведите любое число в квадрат — оно оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 и никогда на 2, 3, 7 или 8. Значит, 4398 — не точный квадрат, и работать не пришлось вовсе. Это не случайность: последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей, а квадраты цифр от 0 до 9 дают лишь эти шесть окончаний.
Затем зажмите между известными. 200 лежит между 14^2 = 196 и 15^2 = 225, так что не осталось целого числа, квадратом которого оно могло бы быть. Любое число строго между двумя соседними квадратами квадратом не является.
Почему они встречаются постоянно
Точные квадраты — причина того, что одни квадратные выражения раскладываются красиво, а другие нет. x^2 - 49 распадается как разность квадратов, потому что 49 — квадрат; x^2 - 50 не распадается. Они же заставляют упрощаться корень: sqrt(75) превращается в 5sqrt(3) именно потому, что внутри 75 спрятан точный квадрат 25.
Попробуйте
И ещё один — в обратную сторону, уравнение, а не справка. Обратите внимание: у него два ответа, и именно на этом чаще всего ошибаются с корнями:
И 7, и -7 в квадрате дают 49, так что оба — решения. Символ sqrt(49) обозначает только положительный: это соглашение о символе, а не факт об уравнении.
Частые вопросы
- Что такое точный квадрат?
- Целое число, полученное умножением какого-нибудь целого числа само на себя. 9 — точный квадрат, потому что 3 умножить на 3 даёт 9; 10 — нет, потому что ни одно целое число, умноженное само на себя, не даёт 10. Название буквально: ровно столько клеточек можно выложить в виде квадрата.
- Какие точные квадраты от 1 до 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100 — квадраты чисел от 1 до 10. Дальше идут 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 и 400, что доводит до 20 в квадрате и покрывает почти всё, что спрашивают в школе.
- Как узнать, является ли число точным квадратом?
- Два быстрых фильтра, затем проверка. Точный квадрат никогда не оканчивается на 2, 3, 7 или 8, так что такие отсеиваются сразу. Если число прошло, найдите ближайший известный квадрат: 200 лежит между 196 и 225, значит, это не квадрат. Только пройдя оба фильтра, стоит извлекать корень.
- Почему разности между точными квадратами — нечётные числа?
- Потому что переход от квадрата со стороной n к квадрату со стороной n+1 — это полоса сбоку, полоса сверху и одна клетка в углу: n + n + 1, а это всегда нечётно. Поэтому разности идут 3, 5, 7, 9…, и сумма нечётных чисел по порядку даёт квадраты по порядку.
- Является ли 0 точным квадратом?
- Да. 0 умножить на 0 даёт 0, что в точности отвечает определению. Некоторые школьные списки начинают с 1, потому что квадрат без стороны трудно представить, но в определении нет ничего, что бы его исключало, и считать 0 квадратом удобнее для дальнейшей алгебры.
Хотите проверить на своих числах?
Решение уравнений Открыть калькулятор