Свойства степеней
Пять правил, которые все выписывают на карточку, и половина потом применяет не туда. Записанные как повторное умножение, они не требуют заучивания вовсе.
Обновлено
Все выписывают свойства степеней на карточку, а через четверть половина из них применяется не к тому. Это не сбой памяти. Правило, которое вы только выучили, не даёт способа проверить, применимо ли оно, — и потому используется везде, где внешне подходит.
Лечится это тем, что перестаёшь считать их правилами. Выберите одно ниже и прочитайте среднюю строку.
Средняя строка — это и есть доказательство. Каждое из этих правил очевидно, стоит записать степени как повторное умножение, — а значит, полагаться на память не нужно.
Каждое правило — это подсчёт
a^3 — сокращение. На самом деле там написано a · a · a: три копии a, перемноженные. Как только обе части правила записаны так, правило перестаёт быть утверждением и становится подсчётом.
Умножение: две копии рядом с тремя копиями — это пять копий.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Вы сложили показатели не потому, что так велело правило, а потому что считали, сколько a оказалось в строке.
Деление: пять копий над двумя копиями, две сокращаются.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Степень степени: три копии «двух копий» — это шесть копий.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Три правила, один довод. Путают «сложить» и «умножить» те, кто выучил глаголы вместо подсчёта.
Ноль и отрицательные показатели вынуждены, а не выбраны
Эти два выглядят как чьё-то соглашение. Это не так.
Возьмите a3/a3. Что угодно, делённое само на себя, равно
- Но правило частного говорит, что это a^(3-3) = a^0. Обе записи описывают одно и то же деление, поэтому a^0 = 1 — единственное значение, при котором правила остаются согласованными.
Идите вниз дальше. Каждый шаг вниз ещё раз делит на a:
| степень | значение при a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
В нуле ничто не меняет направления — деление пополам просто продолжается. Вот и всё, что такое отрицательный показатель: a^-n = 1/a^n. И это, в частности, не отрицательное число. 2^-3 равно 1/8, а это положительное число.
Три ошибки, которые стоит назвать
Разные основания не сворачиваются. 2^3 · 3^4 остаётся как есть. Правила считают копии одного и того же, а здесь считаются две разные вещи.
Складывать слагаемые — не то же, что умножать их. x^2 + x^3 — это не x^5. Распишите: две копии плюс три копии — не пять копий, а сумма двух разных величин. Ничего не сокращается и не сворачивается.
Степень распределяется по произведению, но не по сумме. (ab)^2 = a2b2 верно: две копии ab — это два a и два b. А (a+b)^2 — не a^2 + b^2; оно раскрывается как a^2 + 2ab + b^2, и среднее слагаемое — ровно то, что предсказывает распределительное свойство.
Попробуйте
Если вы потянулись к калькулятору, сделайте это ещё раз через сокращение: четыре копии 3 над двумя копиями 3 оставляют две копии, а две копии 3 дают 9. Именно этот способ продолжает работать, когда основание не 3, а x.
Куда это ведёт дальше
Свойства степеней — это то, что заставляет работать арифметику в стандартном виде, превращает корень в дробную степень и позволяет логарифму менять умножение на сложение. Все три — те же самые пять правил, прочитанные в другую сторону, и это хороший повод держать их доводом, а не памятью.
Частые вопросы
- Какие есть свойства степеней?
- Пяти хватает почти на всё: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются, любое число в нулевой степени равно 1, а отрицательный показатель означает единицу, делённую на положительную степень. Все пять следуют из записи степени как повторного умножения.
- Почему любое число в нулевой степени равно 1?
- Из-за правила частного. Любое число, делённое само на себя, равно 1, а правило частного говорит, что то же самое деление — это основание в степени «показатель минус он же», то есть 0. Обе фразы описывают одно деление, значит a в нулевой степени обязано быть 1. Это вынуждено, а не назначено; единственное исключение — 0 в нулевой степени, которое оставляют неопределённым.
- Что означает отрицательный показатель?
- Он означает обратную величину, а не отрицательное число. 2 в степени -3 равно 1/8, и это положительное число. По мере убывания показателя вы каждый раз делите на основание: 8, 4, 2, 1, а дальше 1/2, 1/4, 1/8. Отрицательный показатель говорит, сколько раз делить вместо умножения.
- Когда показатели можно складывать, а когда нет?
- Только когда основания одинаковые и вы умножаете. 2 в кубе умножить на 2 в четвёртой — это 2 в седьмой, но 2 в кубе умножить на 3 в четвёртой не сворачивается никак: они считают разные вещи. Складывать показатели при сложении слагаемых — самая частая ошибка здесь: x в квадрате плюс x в кубе не равно x в пятой.
- Верно ли, что (a + b) в квадрате равно a в квадрате плюс b в квадрате?
- Нет, и эту ошибку стоит назвать. Возведение в квадрат распределяется по умножению, но не по сложению. (ab) в квадрате действительно равно a в квадрате умножить на b в квадрате, а вот (a + b) в квадрате раскрывается как a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате. Недостающее среднее слагаемое — как раз то, что делает видимым прямоугольная модель.
Хотите проверить на своих числах?
Решение уравнений Открыть калькулятор