Свойства степеней
Пять правил, которые все выписывают на карточку, и половина потом применяет не туда. Записанные как повторное умножение, они не требуют заучивания вовсе.
Обновлено
Все выписывают свойства степеней на карточку, а через четверть половина из них применяется не к тому. Это не сбой памяти. Правило, которое вы только выучили, не даёт способа проверить, применимо ли оно, — и потому используется везде, где внешне подходит.
Лечится это тем, что перестаёшь считать их правилами. Выберите одно ниже и прочитайте среднюю строку.
Средняя строка — это и есть доказательство. Каждое из этих правил очевидно, стоит записать степени как повторное умножение, — а значит, полагаться на память не нужно.
Каждое правило — это подсчёт
a^3 — сокращение. На самом деле там написано a · a · a: три копии a, перемноженные. Как только обе части правила записаны так, правило перестаёт быть утверждением и становится подсчётом.
Умножение: две копии рядом с тремя копиями — это пять копий.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Вы сложили показатели не потому, что так велело правило, а потому что считали, сколько a оказалось в строке.
Деление: пять копий над двумя копиями, две сокращаются.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Степень степени: три копии «двух копий» — это шесть копий.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Три правила, один довод. Путают «сложить» и «умножить» те, кто выучил глаголы вместо подсчёта.
Ноль и отрицательные показатели вынуждены, а не выбраны
Эти два выглядят как чьё-то соглашение. Это не так.
Возьмите a3/a3. Что угодно, делённое само на себя, равно
- Но правило частного говорит, что это a^(3-3) = a^0. Обе записи описывают одно и то же деление, поэтому a^0 = 1 — единственное значение, при котором правила остаются согласованными.
Идите вниз дальше. Каждый шаг вниз ещё раз делит на a:
| степень | значение при a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
В нуле ничто не меняет направления — деление пополам просто продолжается. Вот и всё, что такое отрицательный показатель: a^-n = 1/a^n. И это, в частности, не отрицательное число. 2^-3 равно 1/8, а это положительное число.
Три ошибки, которые стоит назвать
Разные основания не сворачиваются. 2^3 · 3^4 остаётся как есть. Правила считают копии одного и того же, а здесь считаются две разные вещи.
Складывать слагаемые — не то же, что умножать их. x^2 + x^3 — это не x^5. Распишите: две копии плюс три копии — не пять копий, а сумма двух разных величин. Ничего не сокращается и не сворачивается.
Степень распределяется по произведению, но не по сумме. (ab)^2 = a2b2 верно: две копии ab — это два a и два b. А (a+b)^2 — не a^2 + b^2; оно раскрывается как a^2 + 2ab + b^2, и среднее слагаемое — ровно то, что предсказывает распределительное свойство.
Попробуйте
Если вы потянулись к калькулятору, сделайте это ещё раз через сокращение: четыре копии 3 над двумя копиями 3 оставляют две копии, а две копии 3 дают 9. Именно этот способ продолжает работать, когда основание не 3, а x.
Куда это ведёт дальше
Свойства степеней — это то, что заставляет работать арифметику в стандартном виде, превращает корень в дробную степень и позволяет логарифму менять умножение на сложение. Все три — те же самые пять правил, прочитанные в другую сторону, и это хороший повод держать их доводом, а не памятью.
Частые вопросы
- Какие есть свойства степеней?
- Пяти хватает почти на всё: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются, любое число в нулевой степени равно 1, а отрицательный показатель означает единицу, делённую на положительную степень. Все пять следуют из записи степени как повторного умножения.
- Почему любое число в нулевой степени равно 1?
- Из-за правила частного. Любое число, делённое само на себя, равно 1, а правило частного говорит, что то же самое деление — это основание в степени «показатель минус он же», то есть 0. Обе фразы описывают одно деление, значит a в нулевой степени обязано быть 1. Это вынуждено, а не назначено; единственное исключение — 0 в нулевой степени, которое оставляют неопределённым.
- Что означает отрицательный показатель?
- Он означает обратную величину, а не отрицательное число. 2 в степени -3 равно 1/8, и это положительное число. По мере убывания показателя вы каждый раз делите на основание: 8, 4, 2, 1, а дальше 1/2, 1/4, 1/8. Отрицательный показатель говорит, сколько раз делить вместо умножения.
- Когда показатели можно складывать, а когда нет?
- Только когда основания одинаковые и вы умножаете. 2 в кубе умножить на 2 в четвёртой — это 2 в седьмой, но 2 в кубе умножить на 3 в четвёртой не сворачивается никак: они считают разные вещи. Складывать показатели при сложении слагаемых — самая частая ошибка здесь: x в квадрате плюс x в кубе не равно x в пятой.
- Верно ли, что (a + b) в квадрате равно a в квадрате плюс b в квадрате?
- Нет, и эту ошибку стоит назвать. Возведение в квадрат распределяется по умножению, но не по сложению. (ab) в квадрате действительно равно a в квадрате умножить на b в квадрате, а вот (a + b) в квадрате раскрывается как a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате. Недостающее среднее слагаемое — как раз то, что делает видимым прямоугольная модель.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор