Равные дроби
Две дроби без единой общей цифры могут быть одной и той же величиной. Это похоже на фокус, пока не увидишь это один раз как длину; после этого удивляться нечему.
Обновлено
Спросите кого-нибудь, одно ли и то же 2/3 и 8/12, и обычно услышите заминку. Ничего похожего: ни числитель, ни знаменатель, ни размер цифр. И всё же это в точности одна и та же величина, без всякого округления.
Причину легче увидеть, чем произнести, поэтому вот она в виде длины.
Пунктирная линия не двигается. Разрезав ту же длину на большее число частей, вы меняете оба числа и совсем не меняете закрашенное количество.
Не меняется закрашенная длина
Верхняя полоса разрезана на 3 части, 2 закрашены. Нижняя - та же полоса, разрезанная на 6, из них 4 закрашены. Увеличьте множитель, и нижняя полоса режется на 9, потом на 12, потом на 15 частей — а пунктирная линия не двигается никогда.
Эта линия и есть вся идея. Дробь - это длина, а два числа лишь описывают, как вы её разрезали. Знаменатель говорит, на сколько частей разрезали целое; числитель - сколько частей взяли. Разрежьте каждую часть пополам, и частей станет вдвое больше, каждая вдвое меньше, и взяли вы вдвое больше. Два изменения, которые взаимно уничтожаются.
Значит 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, и список не кончается: у каждой дроби бесконечно много равных форм.
Как получить: умножьте числитель и знаменатель на одно число
Чтобы записать дробь иначе, умножьте обе части на одно и то же число:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Число выбираете вы, и в настоящих задачах его выбирают не случайно: обычно потому, что нужен конкретный знаменатель. Если в задаче нужны трети, записанные над 12, множитель равен 4, потому что 3*4 = 12.
Единственное важное правило: обе части или ни одна. Умножить только числитель даёт 8/3 - вчетверо больше. Подвигайте верхний ползунок на рисунке и посмотрите, как прыгает пунктирная линия: вот что делает изменение одного числа.
Деление работает так же, в обратную сторону. 8/12, делённое сверху и снизу на 4, - это 2/3, и снова ничего не сдвинулось.
В обратную сторону: сокращение
Идти по списку вниз, а не вверх, называется сокращением, и именно такой формы ждут почти в любом ответе. Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий делитель:
| дробь | общий делитель | несократимая |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Дробь несократима, когда единственное целое число, делящее обе её части, - это 1. Обратите внимание: три по-разному выглядящие дроби из таблицы сводятся к 2/3 — в этом и весь смысл: они с самого начала были одной величиной, записанной другими разрезами.
Если общий делитель не очевиден, его можно вынимать по этапам. 24/36 чётное, поделите на 2 и получите 12/18; ещё раз - 6/9; затем на 3 - 2/3. Прийти за три простых шага не хуже, чем за один хитрый.
Зачем они вообще нужны
Равные дроби - не отдельная тема. Они существуют потому, что без них сложить дроби невозможно.
1/2 + 1/3 нельзя посчитать: половина и треть - части разного размера. Перепишите обе над 6 — 1/2 = 3/6 и 1/3 = 2/6 — и теперь это части одного размера, которые просто складываются: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Каждый переход к общему знаменателю, который вы когда-либо сделаете, - это две записанные равные дроби. Поэтому эта идея идёт первой.
Попробуйте
Если получилось 9/12, вы разделили один раз и остановились: у 9 и 12 всё ещё есть общий множитель 3. Продолжайте, пока обе части не будет делить только 1.
Частые вопросы
- Что такое равные дроби?
- Две дроби равны, когда они описывают одну и ту же величину, хотя числа выглядят по-разному. 2/3 и 8/12 равны: разрежьте полосу на 3 части и закрасьте 2 или разрежьте ту же полосу на 12 частей и закрасьте 8 - закрашенная часть дойдёт точно до того же места.
- Как найти равную дробь?
- Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число. 2/3 превращается в 4/6 (на 2), 6/9 (на 3), 8/12 (на 4) и так далее без конца. Умножить обе части на одно число - то же самое, что разрезать каждую часть на столько же меньших: количество частей меняется, а величина нет.
- Почему нельзя умножить только числитель?
- Потому что числитель считает части, а знаменатель говорит, какого размера часть. Изменить только числитель - значит взять больше частей того же размера, а это действительно больше. Размер части надо менять одновременно, и умножение знаменателя на то же число именно это и делает.
- Как сократить дробь до конца?
- Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Для 8/12 это 4, поэтому 8/12 превращается в 2/3. Дробь несократима, когда единственное число, делящее обе части, - это 1, и именно такой формы ждут почти в любом ответе.
- Зачем нужны равные дроби?
- Для сложения и вычитания. Части разного размера нельзя считать вместе, поэтому 1/2 + 1/3 не двигается с места, пока обе дроби не переписаны с одним знаменателем: 3/6 + 2/6 = 5/6. Каждая такая перезапись - это равная дробь, и поэтому вся арифметика дробей стоит на этой идее.
Хотите проверить на своих числах?
Калькулятор дробей Открыть калькулятор