Переводите в обе стороны и объединяйте два числа с показанным законом степеней.
Обновлено
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Экспоненциальная запись представляет любое число как одну цифру, дробную часть и степень десяти: 4500 - это 4.5 × 10³, а 0.00032 - это 3.2 × 10⁻⁴. Мантисса всегда лежит между 1 и 10, и именно это позволяет сравнить два числа одним взглядом; а показатель - не более загадочная вещь, чем количество разрядов, которые прошла запятая.
Поэтому знак ведёт себя именно так. Сдвиг запятой ВЛЕВО уменьшает число, значит степень должна снова его увеличить: показатель положительный. Сдвиг ВПРАВО увеличивает, значит степень сжимает обратно: показатель отрицательный. Любая ошибка в экспоненциальной записи - это ошибка в этом обмене, и поэтому страница показывает движение запятой, а не только ответ.
Запись оправдывает себя в арифметике. Умножить два числа в экспоненциальной записи - это одно маленькое умножение и одно СЛОЖЕНИЕ показателей; ради этого запись и существует. Сложить их труднее, потому что степени десяти сначала нужно уравнять, и именно этот шаг почти все пропускают.
В 4500 это 4, в 0.00032 это 3. Всё, что до неё, - упаковка.
4500 становится 4.5, а 0.00032 становится 3.2. Это мантисса, и по построению она уже между 1 и 10.
От 4500. до 4.5 запятая прошла 3 разряда влево. От 0.00032 до 3.2 - 4 разряда вправо.
Влево - плюс, вправо - минус: 4.5 × 10³ и 3.2 × 10⁻⁴. Проверьте, сдвинув запятую обратно: если не попали в исходное число, смотрите на знак.
Положительный показатель ведёт запятую вправо, отрицательный влево, добавляя нули: 6.7 × 10⁵ - это 670000, а 8.1 × 10⁻³ - это 0.0081.
Обычная, экспоненциальная, E-запись и инженерная, которая делает показатель кратным трём, чтобы он совпадал с приставками СИ.
| Число | Экспоненциальная | E-запись | Инженерная |
|---|---|---|---|
| 4500 | 4.5 × 10³ | 4.5e+3 | 4.5 × 10³ |
| 45000 | 4.5 × 10⁴ | 4.5e+4 | 45 × 10³ |
| 0.00032 | 3.2 × 10⁻⁴ | 3.2e-4 | 320 × 10⁻⁶ |
| 299792458 | 2.99792458 × 10⁸ | 2.99792458e+8 | 299.792458 × 10⁶ |
| 1 | 1 × 10⁰ | 1e+0 | 1 × 10⁰ |
| 0.5 | 5 × 10⁻¹ | 5e-1 | 500 × 10⁻³ |
| 0.000000001 | 1 × 10⁻⁹ | 1e-9 | 1 × 10⁻⁹ |
| 602000000000000000000000 | 6.02 × 10²³ | 6.02e+23 | 602 × 10²¹ |
4500Первая ненулевая цифра - 4, значит запятая идёт за ней: 4.5. Путь туда от 4500 сдвинул запятую на 3 разряда влево, значит показатель +3, а ответ 4.5 × 10³. Две значащие цифры, потому что конечные нули были лишь местодержателями.
0.00032Первая ненулевая цифра - 3. Перенос запятой сразу за неё проходит 4 разряда ВПРАВО, значит показатель отрицательный: 3.2 × 10⁻⁴. В инженерной записи это 320 × 10⁻⁶ - 320 микроединиц, именно так это произнёс бы инженер.
4.5e3Введено в экспоненциальной записи, поэтому страница идёт в другую сторону: степень +3 ведёт запятую на 3 разряда вправо, добавляя нуль, и даёт 4500. Никакого переключателя направления - форма записи сама говорит, куда вы идёте.
3e4 × 2e5Перемножьте мантиссы: 3 · 2 = 6. Сложите показатели: 4 + 5 = 9. Ответ 6 × 10⁹ - и это весь метод. Обратите внимание: вы ни разу не писали 30000 или 200000, а это ровно то, что даёт запись.
5e3 × 4e3Мантиссы дают 20, показатели дают 6, значит промежуточный ответ 20 × 10⁶ - значение верное, но это не экспоненциальная запись, потому что 20 не лежит между 1 и 10. Сдвиньте запятую ещё раз: 2 × 10⁷.
3e5 + 4e4Показатели разные, поэтому сложить пока нечего. Перепишите меньшее в степени большего: 4 × 10⁴ - это 0.4 × 10⁵. Теперь мантиссы складываются: 3 + 0.4 = 3.4, то есть 3.4 × 10⁵. Сложить здесь показатели было бы классической ошибкой.
Поставьте запятую сразу после первой ненулевой цифры и посчитайте, на сколько разрядов она сдвинулась. Влево - показатель положительный, вправо - отрицательный. 4500 становится 4.5 × 10³, а 0.00032 становится 3.2 × 10⁻⁴.
Это два названия одного и того же: мантисса от 1 до 10, умноженная на степень десяти. А вот инженерная запись - действительно другой вариант: там показатель принудительно делается кратным трём.
Это экспоненциальная запись в одну строку, как её показывают калькуляторы, таблицы и языки программирования: 4.5e3 значит 4.5 × 10³ = 4500. Буква e здесь - от «экспонента», а не число Эйлера; 4.5e-3 значит 4.5 × 10⁻³ = 0.0045.
Перемножьте мантиссы и СЛОЖИТЕ показатели. (3 × 10⁴)(2 × 10⁵) = 6 × 10⁹. Если мантиссы дают 10 или больше, сдвиньте запятую ещё раз и увеличьте показатель: 20 × 10⁶ записывается как 2 × 10⁷.
Сначала уравняйте показатели, затем сложите только мантиссы. Для 3 × 10⁵ + 4 × 10⁴ перепишите второе как 0.4 × 10⁵ и сложите: 3.4 × 10⁵. Это и есть пропускаемый шаг, а сложение показателей вместо него - классическая ошибка.
Это экспоненциальная запись с показателем, кратным трём, чтобы он совпадал с приставками СИ: 10³ кило, 10⁶ мега, 10⁻³ милли, 10⁻⁶ микро. 0.00032 становится 320 × 10⁻⁶, что инженер читает прямо как 320 микроединиц.
Потому что у него нет первой значащей цифры, после которой поставить запятую, и никакая степень десяти, умноженная на мантиссу от 1 до 10, не даст нуля. Честный ответ - нуль это особый случай, и потому страница так и говорит вместо печати 0 × 10⁰.
Столько, сколько показывает мантисса. Это тихое преимущество записи: в 4500 непонятно, измерены нули или они просто держат разряд, тогда как 4.5 × 10³ заявляет две значащие цифры, а 4.500 × 10³ - четыре.
