Координатная плоскость
Две числовые прямые, пересечённые под прямым углом, — и вдруг у каждой пары чисел появляется место. Ошибаются в двух вещах: в порядке пары и в том, какая четверть какая, — и обе лучше отрабатывать, чем читать.
Обновлено
До координатной плоскости прямая была тем, что рисуют, а окружность — тем, что измеряют. После неё и то и другое — уравнения, с которыми можно считать. Всё построение графиков — и почти всё, что вы будете делать в алгебре потом, — держится на одной небольшой мысли: пара чисел называет место.
Нажмите в любом месте сетки. Штриховые линии показывают, как строится пара.
Нажмите в любом месте. Пунктирные линии показывают, как читается пара: сначала по оси x, затем вверх по оси y.
Сначала вбок, потом вверх
У каждой оси одна работа. Ось x идёт слева направо и измеряет, насколько вбок; ось y идёт снизу вверх и измеряет, насколько вверх. Там, где они пересекаются, находится начало координат, то есть (0, 0) — никакого расстояния ни в одну из сторон.
Чтобы назвать точку, вы даёте два числа в закреплённом порядке: вбок, потом вверх. Значит (3, 2) — это три вправо и два вверх. В самой точке ничто не говорит, какое число какое, — эту информацию несёт порядок. Отсюда и название «упорядоченные пары», и отсюда то, что (3, 2) и (2, 3) — разные места.
Если вы всё время их путаете, обычно выручает одна подсказка: x идёт раньше y в алфавите, значит идёт первой в паре.
Отрицательные числа лишь меняют направление. Отрицательная координата x значит идти влево, а не вправо; отрицательная y — вниз, а не вверх. Понажимайте в левой нижней части сетки и посмотрите, как оба знака становятся отрицательными вместе.
Четыре четверти
Две оси разрезают плоскость на четыре области, пронумерованные от правого верхнего угла против часовой стрелки:
| четверть | x | y | пример |
|---|---|---|---|
| I | положительный | положительный | (3, 2) |
| II | отрицательный | положительный | (-4, 1) |
| III | отрицательный | отрицательный | (-2, -3) |
| IV | положительный | отрицательный | (4, -2) |
Такой порядок кажется странным выбором, пока вы не дойдёте до углов, которые тоже отсчитывают против часовой стрелки от положительной полуоси x. Два соглашения согласованы намеренно.
Пятой области для самих осей нет. Точка вида (0, 3) лежит на оси y, а точка вида (-4, 0) — на оси x; ни та, ни другая не находится в четверти, потому что оси — это границы. Инструмент выше говорит об этом прямо, когда вы нажимаете на ось: это как раз тот случай, в котором чаще всего угадывают.
Ставим сразу набор точек
Когда отдельные точки идут на автомате, список точек начинает что-то говорить. Вот четыре точки на одних осях:
Они не разбросаны — они выстроились в линию. Это тот момент, когда координатная плоскость начинает окупаться: закономерность в списке чисел становится формой, которую видно, а форму, которую видно, почти всегда можно записать уравнением. Здесь каждый y — половина своего x, значит прямая это y = 1/2x.
Попробуйте сами
Сетка выше, если понадобится, но сначала попробуйте разместить эту точку в голове.
Точка — это (-3, 5), и вопрос был намеренно про второе число, потому что привычка читать пару по порядку — как раз то, что здесь стоит выстроить.
Частые вопросы
- Что такое координатная плоскость?
- Это две числовые прямые, пересечённые под прямым углом: горизонтальная называется осью x, вертикальная — осью y. Они встречаются в точке, которая называется началом координат и равна (0, 0). После этого любую точку плоскости можно назвать парой чисел: сколько вбок и сколько вверх.
- Какое число идёт первым в упорядоченной паре?
- Всегда координата x. Пара (3, 2) означает 3 вправо и 2 вверх, а не наоборот. Алфавитный порядок — надёжный способ это запомнить: x идёт раньше y в алфавите и идёт первой в паре. Слово «упорядоченная» здесь работает по-настоящему: (3, 2) и (2, 3) — две разные точки.
- Как нумеруются четыре четверти?
- Они начинаются справа сверху и идут против часовой стрелки: четверть I — справа сверху, там обе координаты положительны; II — слева сверху (x отрицателен, y положителен); III — слева снизу (обе отрицательны) и IV — справа снизу (x положителен, y отрицателен). Направление против часовой стрелки кажется произвольным, но оно совпадает с направлением, в котором отсчитывают углы, и именно поэтому его стоит выучить так.
- В какой четверти лежит точка на оси?
- Ни в какой. Оси — это границы между четвертями, они не принадлежат ни одной; поэтому про точку вида (0, 3) или (-4, 0) говорят, что она лежит на оси y или на оси x, а не в четверти. Начало координат лежит на обеих.
- Почему её называют декартовой?
- По имени Рене Декарта, опубликовавшего в 1637 году идею называть точки парами чисел. Это одна из самых полезных идей в математике: она превращает геометрию в алгебру. Прямая перестаёт быть рисунком и становится уравнением, а с уравнением уже можно считать.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
