Цилиндр радиусом 3 и высотой 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, около 141,37. Возведите радиус в квадрат до умножения на высоту; наоборот получится 225π - в пять раз больше.
Калькулятор объёма
Шесть тел, у каждого формула выписана до подстановки.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Любая формула объёма - это площадь, умноженная на высоту
У призмы - параллелепипеда, цилиндра, чего угодно с одинаковым сечением по всей высоте - объём равен площади основания, умноженной на высоту. Эта одна мысль покрывает два из шести тел здесь: параллелепипед это длина × ширина × высота, потому что площадь его основания длина × ширина, а цилиндр это πr²h, потому что его основание - круг площадью πr². Выучить закономерность лучше, чем заучивать формулы по отдельности.
Те, что сужаются - конус и пирамида - берут ровно ТРЕТЬ призмы, которая бы их вмещала. То же основание, та же высота, треть объёма. Множитель 1/3 не произволен и забывают его в этой теме чаще всего: конус того же размера, что цилиндр, вмещает втрое меньше, и это легче помнить, когда вы перелили один в другой.
Шар выбивается со своим 4/3πr³, и держать его точным стоит по той же причине, что и всё здесь: π иррационально, поэтому 36π - ответ, а 113,1 - его округление. Страница сохраняет символ, сообщает десятичную запись рядом и даёт площадь поверхности и образующую везде, где они точны.
На что обратить внимание
- Для всего призматического объём равен площади основания × высоту. Увидеть это - значит превратить четыре формулы в одну мысль плюс нужную формулу площади.
- Конус или пирамида - треть призмы с тем же основанием и высотой. Забыть 1/3 - классическая ошибка, делающая ответ ровно втрое больше.
- Все размеры должны быть в одной единице до начала счёта, и объём выходит в этой единице В КУБЕ. Смешать сантиметры и метры - ошибка в миллион раз.
- Удвоить один размер значит удвоить объём; удвоить все три - умножить его на восемь. Поэтому объём растёт гораздо быстрее длины.
- π принадлежит ответу, а не решению. 45π точно, а умножить его в конце до 141,37 ничего не стоит и легко проверяется.
- Образующая конуса - не его высота. Образующая - гипотенуза радиуса и высоты, поэтому выходит корнем, и она нужна площади боковой поверхности, а не объёму.
Как найти объём
Определите тело и выпишите его формулу
Сделайте это прежде, чем коснуться числа. Куб s³, параллелепипед lwh, цилиндр πr²h, шар 4/3πr³, конус 1/3πr²h, четырёхугольная пирамида 1/3s²h.
Проверьте, что единицы совпадают
Сначала переведите всё в одну единицу. Именно этот шаг молча портит ответы, потому что дальнейшая арифметика выглядит безупречно.
Подставьте размеры
Выпишите формулу со своими числами внутри, прежде чем что-либо считать. В проверяемой задаче эта подставленная строка обычно стоит отдельного балла.
Степени - раньше умножения
Для цилиндра радиусом 3 и высотой 5: сначала возведите 3 в квадрат и получите 9, затем 9 · 5 = 45, то есть 45π. Умножить до возведения - другое и неверное число.
Дайте ответ в кубических единицах
Радиус в сантиметрах даёт объём в кубических сантиметрах. Оставьте π на месте, если не требуется десятичная запись.
Шесть формул с посчитанным значением
Каждая формула и что она даёт на небольшом примере. Обратите внимание на 1/3 у двух сужающихся тел.
| Тело | Формула | Пример | Точный объём | Десятично |
|---|---|---|---|---|
| Куб | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Прямоугольный параллелепипед | д · ш · в | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Цилиндр | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Шар | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Конус | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Четырёхугольная пирамида | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Шар | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Цилиндр | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Разобранные примеры
Шар радиусом 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, около 113,1. 27 и 4/3 здесь аккуратно сокращаются, поэтому радиус 3 - пример из каждого учебника. Площадь его поверхности тоже 4πr² = 36π - совпадение, уникальное для r = 3.
Конус радиусом 3 и высотой 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, около 37,7. Сравните с цилиндром того же основания и высоты, вмещающим 36π: конус - ровно треть. Его образующая √(3² + 4²) = 5, объёму она не нужна, а боковой поверхности нужна.
Куб с ребром 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64, и никакого π. Площадь поверхности 6s² = 96, потому что у куба шесть одинаковых квадратных граней. Оба ответа целые, поэтому это удобный пример для проверки метода.
Когда ответ сохраняет дробь: шар радиусом 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, около 33,51. Тройка не делит 32, поэтому точный ответ сохраняет дробь - запись 33,5 её теряет, и в любой задаче, продолжающейся с этим значением, ошибка едет дальше.
Частые ошибки
- Забыть 1/3 у конуса или пирамиды. Ответ выходит ровно втрое больше - легче всего замечаемая ошибка, когда знаешь, что искать.
- Смешать единицы. Сначала переведите: радиус в сантиметрах с высотой в метрах даёт число, которое ничего не значит.
- Умножить до возведения в квадрат. В πr²h в квадрат возводится радиус, а не произведение: π · (3 · 5)² - совсем другая величина.
- Взять диаметр вместо радиуса. Это удваивает r, что умножает объём цилиндра на четыре, а шара - на восемь.
- Путать объём с площадью поверхности. Одно - место внутри и выходит в кубических единицах; другое - оболочка и выходит в квадратных.
- Использовать образующую в объёме конуса. Объёму нужна перпендикулярная высота; образующая - для боковой поверхности.
Вопросы об объёме
Какова формула объёма цилиндра?
V = πr²h - площадь круглого основания, умноженная на высоту. Для радиуса 3 и высоты 5 это π · 9 · 5 = 45π, около 141,37. Возводите радиус в квадрат до умножения на высоту.
Каков объём шара?
V = 4/3 πr³. Шар радиусом 3 вмещает 4/3 · π · 27 = 36π, около 113,1. Это единственная формула здесь, которую нельзя прочитать как площадь основания на высоту, поэтому её приходится запомнить.
Почему в формулах конуса и пирамиды стоит 1/3?
Потому что конус или пирамида вмещает ровно треть призмы с тем же основанием и той же высотой. Перелейте полный конус в цилиндр того же размера - он заполнит треть. Множитель это факт о сужении, а не подгонка.
В каких единицах получается объём?
В единице ваших размеров, в кубе. Сантиметры дают кубические сантиметры; метры - кубические метры. Все размеры нужно перевести в одну единицу ДО вычисления, иначе ответ ничего не значит.
Как найти объём прямоугольной коробки?
Перемножьте три размера: V = д · ш · в. Это площадь основания на высоту, как у любой призмы, ведь площадь основания коробки равна д · ш. Коробка 2 на 3 на 4 вмещает 24 кубические единицы.
Чем объём отличается от площади поверхности?
Объём - это место внутри, измеряется в кубических единицах; площадь поверхности - вся внешняя площадь, измеряется в квадратных. Страница сообщает и то и другое там, где площадь поверхности точна: для куба, параллелепипеда, цилиндра и шара.
Что такое образующая конуса?
Расстояние от вершины по наклонной стороне до края: √(r² + h²), по теореме Пифагора для радиуса и высоты. Она длиннее высоты, нужна формуле боковой поверхности и не участвует в объёме.
Зачем держать π символом?
Потому что 45π точно, а 141,37 - округление. Экзаменационные задачи часто просят ответ через π именно потому, что его можно проверить без калькулятора, а раннее округление в многошаговой задаче теряет точность, нужную последующим шагам.
