Классика: катеты 3 и 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, и √25 = 5 точно. Это треугольник 3-4-5, наименьший с тремя целыми сторонами, и его стоит узнавать сразу - как и кратные ему 6-8-10 и 9-12-15.
Калькулятор теоремы Пифагора
Две стороны на рисунке дают третью - точно, вместе с корнями.
Обновлено
Хотите решать это без калькулятора?
Курс математики Coddy учит самому методу: вы прорабатываете каждый шаг на интерактивной доске и узнаёте, где именно ход пошёл не так.
Квадраты катетов дают квадрат гипотенузы
В прямоугольном треугольнике - и только в нём - a² + b² = c², где c гипотенуза: сторона против прямого угла и всегда самая длинная из трёх. Утверждение говорит о ПЛОЩАДЯХ: постройте квадрат на каждой из двух коротких сторон, и их суммарная площадь в точности равна площади квадрата на самой длинной. Поэтому всё возводится в квадрат и поэтому в конце нужен корень.
Куда идёт арифметика, зависит от того, какая сторона неизвестна, и почти все ошибки живут именно здесь. Ищете гипотенузу - СКЛАДЫВАЕТЕ два квадрата. Ищете катет - ВЫЧИТАЕТЕ: a² = c² − b², потому что квадрат гипотенузы это целое, а квадрат известного катета его часть. Сложить там, где нужно вычесть, значит получить ответ больше гипотенузы, что невозможно - удобная проверка.
Ответы здесь точные. Гипотенуза треугольника с катетами 2 и 3 равна √13, и √13 сообщает эта страница - с 3,6056 рядом, помеченным как то округление, которым он и является. √20 упрощается до 2√5, а не остаётся как есть, а треугольник, у которого все три стороны вышли целыми, отмечается как пифагорова тройка, которой он и является.
На что обратить внимание
- Теорема верна только в прямоугольном треугольнике. В любом другом a² + b² и c² просто разные числа - там общий случай это теорема косинусов.
- c всегда самая длинная сторона. Если ваша гипотенуза вышла меньше катета, где-то сложение превратилось в вычитание.
- Найти катет - это вычитание. a² = c² − b² следует прямо из теоремы, и этот случай проваливают гораздо чаще, чем гипотенузу.
- Почти все ответы иррациональны. Треугольники с тремя целыми сторонами - 3-4-5, 5-12-13 - это исключение, поэтому форма с корнем и важна.
- Площадь прямоугольного треугольника равна ab/2: два катета перемножены и поделены на два. Гипотенуза не участвует, потому что катеты уже сходятся под прямым углом.
- Любое кратное тройки - тоже тройка. 3-4-5, умноженное на 3, даёт 9-12-15, поэтому одни и те же треугольники бесконечно всплывают в задачах.
Как найти неизвестную сторону
Определите гипотенузу
Это сторона против прямого угла и самая длинная из трёх. Ошибка здесь портит все дальнейшие шаги, поэтому обозначьте её прежде, чем что-либо считать.
Решите: складывать или вычитать
Неизвестна гипотенуза - складывайте квадраты катетов. Неизвестен катет - вычитайте квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.
Возведите известные стороны в квадрат
Сначала квадрат, потом сложение или вычитание. Возводить после сложения - (a + b)² - это другое и намного большее число.
Извлеките квадратный корень
Это снимает возведение в квадрат и даёт саму сторону. Если корень не извлекается нацело, упростите его вместо перехода к десятичной записи: √20 это 2√5.
Проверьте порядок величины
Гипотенуза должна быть длиннее любого катета и короче их суммы. Если ответ нарушает одно из правил, сложение и вычитание поменялись местами.
Прямоугольные треугольники одним взглядом
Тройки, которые стоит запомнить, и что бывает, когда ответ не целый. Точный столбец - это ответ; десятичный - его округление.
| a | b | c | Точно | Десятично |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Разобранные примеры
Иррациональная гипотенуза: катеты 2 и 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, значит гипотенуза равна √13. Это и есть ответ - 3,6056 его округление, а 3,6056 в квадрате даёт 12,9999… вместо 13. Большинство прямоугольных треугольников таковы; целочисленные - исключение.
Упростить корень: катеты 2 и 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20, и √20 не оставляют как есть: 20 = 4 · 5, и 4 выходит из корня двойкой, давая 2√5. То же число - и форма, которую ждёт любая проверка.
Найти катет: гипотенуза 5, другой катет 4
plain
b = 4, c = 5Сначала переставьте: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, значит a = 3. Сложение дало бы √41 ≈ 6,4 - длиннее гипотенузы, что невозможно; это и есть проверка, ловящая ошибку немедленно.
Дробные стороны: 3/2 и 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, и квадратный корень из 25/4 равен ровно 5/2. Дроби остаются дробями до конца, поэтому ответ 5/2, а не 2,5 - хотя здесь это одно число.
Частые ошибки
- Складывать, когда неизвестна не гипотенуза, а катет. Квадрат гипотенузы - это ЦЕЛОЕ, значит найти катет значит вычесть из него.
- Возводить в квадрат сумму вместо суммы квадратов. a² + b² не равно (a + b)²; второе больше на 2ab, что для настоящего треугольника никогда не ноль.
- Назвать гипотенузой не ту сторону. Она лежит против прямого угла, а не просто нарисована последней или справа.
- Забыть корень. 3² + 4² = 25 - это квадрат ответа, а не ответ: гипотенуза равна 5, а не 25.
- Применять теорему к треугольнику без прямого угла. Она верна только для прямоугольных; всё остальное требует теоремы косинусов.
- Округлить корень слишком рано. √13 в квадрате - ровно 13, а 3,61 в квадрате - 13,0321, и в многошаговой задаче эта ошибка растёт.
Вопросы о теореме Пифагора
Что утверждает теорема Пифагора?
В прямоугольном треугольнике a² + b² = c², где a и b - две короткие стороны (катеты), а c - гипотенуза против прямого угла. В терминах площадей: квадраты, построенные на катетах, вместе имеют ровно ту же площадь, что квадрат на гипотенузе.
Как найти гипотенузу?
Возведите оба катета в квадрат, сложите и извлеките корень: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 это √25 = 5. Если корень не извлекается нацело, оставьте его упрощённым: √20 становится 2√5.
А как найти катет?
Вычитанием, а не сложением: a² = c² − b², значит a = √(c² − b²). При гипотенузе 5 и катете 4 это √(25 − 16) = 3. Именно здесь ошибаются чаще всего, а проверка в том, что катет всегда короче гипотенузы.
Что такое пифагорова тройка?
Три целых числа, удовлетворяющих теореме: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Любое кратное тройки - тоже тройка, поэтому 6-8-10 и 9-12-15 достаются бесплатно вместе с 3-4-5. Большинство прямоугольных треугольников тройками НЕ являются, поэтому иррациональные ответы - норма.
Работает ли теорема в любом треугольнике?
Нет, только в прямоугольном. Для остальных общее утверждение - теорема косинусов, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), которая сводится к теореме Пифагора ровно тогда, когда C равен 90° и его косинус равен нулю.
Почему страница оставляет корни вместо десятичных дробей?
Потому что корень - точный ответ, а десятичная запись - его округление. √13 в квадрате - ровно 13; 3,61 в квадрате - 13,0321. В многошаговой задаче эта разница накапливается, и большинство проверок всё равно требует точную форму.
Как проверить, прямоугольный ли треугольник?
Проверьте теорему на трёх сторонах: если a² + b² в точности равно c², где c - самая длинная сторона, у треугольника есть прямой угол. Если левая часть больше, угол острый; если меньше - тупой. Это обратная теорема и по-настоящему полезная проверка.
Принимает ли калькулятор дроби и десятичные?
Да, и оба остаются точными. Катеты 3/2 и 2 дают гипотенузу ровно 5/2, а введённая десятичная запись читается как точная дробь, которую она называет, а не как приближение с плавающей точкой.
