חיתוך אחד: 2x + y = 5 ו־x - y = 1
plain
2x + y = 5; x - y = 1חיבור שתי המשוואות מעלים את y מיד, כי +y ו־-y מבטלים זה את זה: 3x = 6, ולכן x = 2, ואז y = 1 מכל אחת מהמשוואות. הציור מראה את שני הישרים נחתכים ב־(2, 1): נקודה אחת, תשובה אחת.
מחשבון מערכת משוואות
שיטת החילוץ שלב אחר שלב, עם שני הישרים מצוירים ונקודת החיתוך שלהם מסומנת.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
מערכת היא שני ישרים, ולפתור אותה פירושו למצוא איפה הם נפגשים
שתי משוואות ב־x וב־y הן שני ישרים באותה מערכת צירים. זוג (x, y) שמקיים את שתי המשוואות הוא נקודה שנמצאת על שני הישרים, כלומר נקודת החיתוך. זה כל הרעיון, והוא מסביר את כל המקרים בבת אחת: ישרים שנחתכים פעם אחת נותנים פתרון אחד, ישרים מקבילים לא נותנים אף פתרון, וישר שמשורטט פעמיים נותן אינסוף פתרונות.
חילוץ והצבה הם פשוט דרכים למצוא את נקודת החיתוך בלי לשרטט אותה. הדף הזה עושה את שני החצאים: את הציור, כדי שתראו מה התשובה אומרת, ואת החילוץ כתוב שורה אחר שורה, כדי שתראו איך היא נמצאה. רוב המחשבונים נותנים רק את האחד או את השני.
שני המקרים המיוחדים מקבלים שם ולא מדווחים ככישלון. "אין פתרון" ו"אינסוף פתרונות" הן תשובות אמיתיות עם משמעות אמיתית, ופותר שמושך בכתפיים מולן מלמד לפחד מהשאלה. כאן הצורה מחושבת מתוך המקדמים, כך שהדף יכול לומר באיזה מקרה אתם נמצאים גם כשאין זוג יחיד להדפיס.
למה לשים לב בשלבים
- חילוץ עובד על ידי השוואת המקדמים של נעלם אחד, ואז חיבור או חיסור של המשוואות כדי להעלים אותו. כל השיטה היא הרעיון האחד הזה, שוב ושוב.
- אם מחברים או מחסירים תלוי בסימנים. אם למקדמים שהושוו יש אותו סימן, מחסירים; אם הסימנים שונים, מחברים. היפוך של זה הוא הפספוס הנפוץ ביותר.
- ברגע שיש נעלם אחד, מציבים אותו בחזרה באחת המשוואות המקוריות כדי לקבל את השני. כל אחת מהן: אם יוצאות תשובות שונות משתיהן, משהו קודם היה שגוי.
- ישרים מקבילים פירושם אותו שיפוע ונקודת חיתוך שונה עם הציר. באלגברה זה מופיע כשורה בלתי אפשרית כמו 0 = -2, שהיא לא הודעת שגיאה אלא התשובה.
- שלושה נעלמים עובדים באותה דרך: מחלצים אחד ומקבלים מערכת 2x2, ואז מסיימים. שם הציור מפסיק לעזור, כי שלושה נעלמים הם מישורים ולא ישרים.
איך משתמשים במחשבון מערכת המשוואות
הקלידו משוואה אחת בכל שורה
כתבו אותן כמו על הדף:
2x + y = 5בשורה הראשונה,x - y = 1בשנייה. שברים ומספרים עשרוניים במקדמים הם בסדר.קראו את התשובה ואת הצורה
הזוג מופיע למעלה. מתחתיו, משפט אומר מה המערכת מבחינה גאומטרית: חיתוך אחד, ישרים מקבילים, או אותו ישר פעמיים.
הסתכלו על הציור
הישרים משורטטים עם נקודת החיתוך מסומנת. אם התשובה מפתיעה אתכם, הציור בדרך כלל מסביר אותה מהר יותר מהאלגברה.
עקבו אחרי החילוץ
השלבים הממוספרים מראים איזה נעלם הוסר, איך, ומה נשאר. זו השיטה שמבקשים מכם לשחזר.
שלושת המקרים
כל מערכת 2x2 היא אחד מאלה, ואפשר לדעת איזה מהם לפי הישרים עוד לפני שעושים אלגברה.
| מקרה | הישרים | דוגמה |
|---|---|---|
| פתרון אחד | נחתכים פעם אחת | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| אין פתרון | מקבילים, נקודות חיתוך שונות עם הציר | x + y = 3, x + y = 5 |
| אינסוף פתרונות | אותו ישר פעמיים | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| משוואה אחת בלבד | ישר שלם של פתרונות | 2x + 3y = 7 |
| שלושה נעלמים | מישורים, לא ישרים | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
דוגמאות פתורות
ישרים מקבילים: x + y = 3 ו־x + y = 5
plain
x + y = 3; x + y = 5מחסרים ומקבלים 0 = -2, ששום זוג מספרים לא יכול לתקן. זה לא הפותר שנכשל; זו התשובה. לישרים יש אותו שיפוע ונקודות חיתוך שונות עם הציר, ולכן הם אף פעם לא נפגשים ולמערכת אין פתרון.
אותו ישר פעמיים: x + y = 3 ו־2x + 2y = 6
plain
x + y = 3; 2x + 2y = 6המשוואה השנייה היא הראשונה כפול שתיים, ולכן היא משרטטת את אותו ישר. כל נקודה על הישר הזה מקיימת את שתיהן, כלומר יש אינסוף פתרונות. בציור רואים רק ישר אחד, כי יש רק אחד.
שלושה נעלמים: x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2
plain
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2הצבה של z = 2 ו־x = y הופכת שלוש משוואות לאחת, ומתקבל x = y = 2. אין כאן ציור, כי שלושה נעלמים הם מישורים ולא ישרים, אבל החילוץ הוא אותו תהליך, נעלם אחד בכל פעם.
טעויות נפוצות
- חיבור כשצריך לחסר. מקדמים מושווים עם אותו סימן צריך לחסר; רק סימנים הפוכים מתבטלים בחיבור.
- כפל של חלק מהמשוואה בלבד. אם מכפילים משוואה כדי להשוות מקדם, צריך להכפיל כל איבר, כולל האגף הימני.
- הצבה בחזרה במשוואה ששיניתם זה עתה. השתמשו באחת המקוריות, אחרת עלולים לאבד את התנאי השני לגמרי.
- פתרון עבור נעלם אחד ועצירה. למערכת 2x2 יש שתי תשובות, וציון x בלבד הוא חצי פתרון.
- לקרוא 0 = -2 כטעות חשבון במקום כ"אין פתרון". באותו אופן, 0 = 0 פירושו אינסוף פתרונות, לא "משהו השתבש כאן".
- בלבול בין הישרים בזמן הבדיקה. הציבו את הזוג בשתי המשוואות המקוריות; קיום של אחת מהן לא מוכיח כלום.
שאלות נפוצות על מערכת משוואות
איך פותרים מערכת משוואות?
משווים את המקדמים של נעלם אחד בשתי המשוואות, ואז מחברים או מחסירים כדי לחלץ אותו. פותרים את המשוואה היחידה שנשארה, ואז מציבים את הערך בחזרה באחת המשוואות המקוריות כדי למצוא את הנעלם השני. לבסוף בודקים את הזוג בשתי המשוואות.
מה ההבדל בין שיטת החילוץ לשיטת ההצבה?
חילוץ משלב את המשוואות כדי להעלים נעלם; הצבה מבודדת נעלם אחד במשוואה אחת ומציבה את הביטוי בשנייה. הן תמיד נותנות את אותה תשובה. חילוץ בדרך כלל קצר יותר כשהמקדמים מסודרים, והצבה כשבאחת המשוואות נעלם כבר עומד לבד.
מה פירוש "אין פתרון" במערכת?
שהישרים מקבילים: יש להם אותו שיפוע ונקודות חיתוך שונות עם הציר, ולכן אין נקודה שנמצאת על שניהם. באלגברה זה מופיע כטענה בלתי אפשרית כמו 0 = -2. זו תשובה שלמה, לא כישלון במציאת תשובה.
מה פירוש "אינסוף פתרונות"?
ששתי המשוואות מתארות את אותו ישר: אחת היא כפולה של השנייה. כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות, ולכן הפתרון הוא הישר כולו ולא זוג יחיד. לעתים קרובות יבקשו לכתוב אותו באמצעות משתנה אחד.
האם הוא פותר שלוש משוואות בשלושה נעלמים?
כן, והחילוץ מוצג באותה דרך: מסירים נעלם אחד כדי לרדת למערכת 2x2, פותרים אותה, ואז חוזרים אחורה. הגרף משורטט רק לשני נעלמים, כי שלושה נעלמים הם מישורים, וציור שטוח היה מטעה יותר ממסביר.
למה הוא משרטט את הישרים?
כי הציור הוא המשמעות. חילוץ הוא תהליך אמין שמסתיר את מה שקורה; שני ישרים שנחתכים בנקודה מבהירים למה יש בדיוק תשובה אחת, ולמה לישרים מקבילים אין אף אחת.
האם הוא מטפל בשברים ובמספרים עשרוניים?
כן, ובמדויק. 0.5x + y = 3 נקרא כחצי, והתשובה למערכת עם מקדמים שבריים יוצאת כשבר מדויק ולא כמספר עשרוני מעוגל.
