מהו מעגל היחידה?

זהו המעגל שהרדיוס שלו 1 והמרכז שלו בראשית הצירים. מותחים קו מהמרכז בזווית כלשהי ומסמנים את הנקודה שבה הוא חותך את המעגל: הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק (cos של הזווית, sin של הזווית). כך המעגל הופך שאלה על משולשים לשאלה על קואורדינטות, ואותן הרבה יותר קל לדמיין.

מה הערכים במעגל היחידה?

ב־16 הזוויות המיוחדות כל קואורדינטה היא אחד המספרים 0, 1/2, √2/2, √3/2 או 1, עם סימן. ברביע הראשון: 30° היא (√3/2, 1/2), 45° היא (√2/2, √2/2) ו־60° היא (1/2, √3/2). כל זווית מיוחדת אחרת חוזרת על אחד מהזוגות האלה עם הסימנים של הרביע שלה. הטבלה בעמוד הזה מציגה את כל 16 הזוויות, עם tan.

יש מעגל יחידה להדפסה או מעגל יחידה ריק?

כן. את הטבלה בראש העמוד אפשר להוריד כקובץ PDF בגודל Letter או כקובץ PNG, בשלוש גרסאות: עם קואורדינטות, עם קואורדינטות ו־tan, וריקה. בגרסה הריקה נשארים המעגל, הצירים ו־16 הנקודות, כך שאפשר למלא את כל התוויות בעצמכם.

למה הנקודה על מעגל היחידה היא (cos, sin) ולא (sin, cos)?

כי הקוסינוס מודד מרחק אופקי, ו־x היא הקואורדינטה האופקית. מורידים מהנקודה אנך לציר x ומקבלים משולש ישר זווית שהיתר שלו 1. הניצב האופקי צמוד לזווית, ולכן הוא cos חלקי 1, כלומר cos עצמו. הניצב האנכי מול הזווית, ולכן הוא sin.

איך זוכרים את מעגל היחידה?

לומדים שלושה מספרים וכלל אחד. המספרים הם 1/2, √2/2 ו־√3/2, הערכים של הרביע הראשון. הכלל הוא הסימן: cos שלילי בחצי השמאלי של המעגל ו־sin שלילי בחצי התחתון. כל זווית אחרת היא ערך מהרביע הראשון עם הסימנים האלה, שמוצאים לפי זווית הייחוס שלה.

איך ממירים בין מעלות לרדיאנים?

סיבוב שלם הוא 360 מעלות וגם 2π רדיאנים, ולכן חצי סיבוב הוא 180 מעלות ו־π רדיאנים. כופלים מעלות ב־π/180 כדי לקבל רדיאנים, או כופלים רדיאנים ב־180/π כדי לקבל מעלות. כך 30° היא π/6, 45° היא π/4, 60° היא π/3 ו־90° היא π/2.

למה tan לא מוגדר ב־90 מעלות?

tan הוא sin חלקי cos. ב־90° הנקודה נמצאת ישר למעלה ב־(0, 1), ולכן cos שווה 0, ולחלוקה ב־0 אין תשובה. אותו דבר קורה ב־270°. רואים את זה גם על המעגל: tan הוא השיפוע של הקו מהמרכז, ולקו אנכי אין שיפוע.

מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא המעגל ברדיוס 1 שמרכזו בראשית הצירים. הנקודה בכל זווית עליו היא (cos, sin), ולכן טבלה אחת מכילה את כל הערכים המיוחדים של סינוס, קוסינוס וטנגנס.

מאת Nethanel Bar, מייסד שותף ומנכ"ל

עודכן לאחרונה 15 באוקטובר 2026

הטבלה הזו נותנת את הסינוס והקוסינוס בכל 16 הזוויות המיוחדות, במעלות וברדיאנים. אפשר להעביר אותה כך שתציג גם את tan, או למעגל ריק שאפשר להדפיס ולמלא.

טבלת מעגל היחידה

PDF PNG

טבלאות מעגל היחידה להדפסה

טבלת מעגל היחידה עם כל 16 הזוויות המיוחדות במעלות וברדיאנים והקואורדינטות המדויקות (cos, sin) שלהן — קואורדינטותPDF PNG

טבלת מעגל היחידה עם tan: כל 16 הזוויות המיוחדות במעלות וברדיאנים, הקואורדינטות (cos, sin) שלהן וערכי tan — עם tanPDF PNG

מעגל יחידה ריק שבו מסומנות 16 הזוויות המיוחדות, למילוי — ריקהPDF PNG

מותר להדפיס, להעתיק ולחלק בחינם. קובץ PDF בגודל Letter, וקובץ PNG מתאים למצגות ולסיכומים.

הערכים במעגל היחידה

כל ערך מהטבלה, בטבלה אחת. tan הוא sin חלקי cos, ולכן אין לו ערך במקום שבו cos שווה 0.

מעלות	רדיאנים	cos	sin	tan
0°	0	1	0	0
30°	π/6	√3/2	1/2	√3/3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	1/2	√3/2	√3
90°	π/2	0	1	לא מוגדר
120°	2π/3	−1/2	√3/2	−√3
135°	3π/4	−√2/2	√2/2	−1
150°	5π/6	−√3/2	1/2	−√3/3
180°	π	−1	0	0
210°	7π/6	−√3/2	−1/2	√3/3
225°	5π/4	−√2/2	−√2/2	1
240°	4π/3	−1/2	−√3/2	√3
270°	3π/2	0	−1	לא מוגדר
300°	5π/3	1/2	−√3/2	−√3
315°	7π/4	√2/2	−√2/2	−1
330°	11π/6	√3/2	−1/2	−√3/3

למה הנקודה היא (cos, sin)

גררו את הנקודה סביב המעגל ושימו לב לשני הניצבים המקווקווים.

זווית60°cos1/2sin√3/2tan√3

גררו את הנקודה. הניצב הירוק הוא cos, הניצב האדום הוא sin, ולכן הנקודה היא (cos, sin).

רדיוס המעגל הוא 1, וזה כל הסוד. מותחים קו מהמרכז אל המעגל בזווית כלשהי, ומורידים מהנקודה אנך אל ציר x. מתקבל משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הרדיוס, ולכן היתר שווה 1.

במשולש הזה, הקוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר. הניצב הזה הוא הניצב האופקי, והיתר שווה 1, ולכן הקוסינוס הוא הניצב האופקי. מאותה סיבה הסינוס הוא הניצב האנכי. לכן הנקודה היא (cos(x), sin(x)): קודם המרחק האופקי ואחריו האנכי, x לפני y.

שלושת המספרים שבאמת צריך

ברביע הראשון נמצאים כל הערכים שהמעגל משתמש בהם:

זווית	cos	sin
30°	√3/2	1/2
45°	√2/2	√2/2
60°	1/2	√3/2

שלושה ערכים שונים: 1/2, √2/2 ו־√3/2. שימו לב ש־30° ו־60° הם אותו זוג בסדר הפוך. סכום שתי הזוויות הוא 90°, ולכן המשולשים שלהן הם אותו משולש במבט מהקצה השני.

הסימנים בכל רביע

כל זווית מחוץ לרביע הראשון משתמשת באחד משלושת המספרים האלה עם סימן. כדי למצוא אותו, לוקחים את זווית הייחוס, הזווית בין הקו לציר x: לזווית 150° חסרות 30° עד 180°, ולכן זווית הייחוס שלה היא 30° והערכים שלה הם הערכים של 30° עם סימנים חדשים.

הסימנים נקבעים לפי מיקום הנקודה. cos הוא המרחק האופקי, ולכן הוא שלילי בחצי השמאלי של המעגל. sin הוא המרחק האנכי, ולכן הוא שלילי בחצי התחתון. הטבלה מסמנת בכל רביע את הסימנים של (cos, sin):

רביע	זוויות	cos	sin	tan
I	0° עד 90°	+	+	+
II	90° עד 180°	−	+	−
III	180° עד 270°	−	−	+
IV	270° עד 360°	+	−	−

לכן 150° היא (−√3/2, 1/2), ו־210°, שגם זווית הייחוס שלה היא 30°, היא (−√3/2, −1/2).

מעגל היחידה ברדיאנים

סיבוב שלם הוא 360°, והוא גם 2π רדיאנים, כי ההיקף של מעגל ברדיוס 1 הוא 2π: רדיאן אחד הוא קשת שאורכה רדיוס אחד. חצי סיבוב הוא 180° או π.

מכאן הזוויות המיוחדות הן שברים של חצי סיבוב. 30° היא שישית מ־180°, ולכן היא π/6; 45° היא רבע, π/4; 60° היא שליש, π/3. המכנה אומר כמה זוויות כאלה נכנסות בחצי סיבוב, והמונה סופר אותן: 150° היא חמש שישיות של חצי סיבוב, 5π/6.

טנגנס במעגל היחידה

tan הוא היחס sin(x)/cos(x), שהוא השיפוע של הקו מהמרכז אל הנקודה. ב־45° sin ו־cos שווים, ולכן tan שווה בדיוק 1. ב־30° הוא √3/3 וב־60° הוא √3.

ב־90° הנקודה נמצאת ישר למעלה ב־(0, 1), ולכן cos שווה 0 ו־tan לא מוגדר: אין מספר ששווה 1 חלקי 0, ולקו אנכי אין שיפוע. אותו דבר קורה ב־270°. בכל מקום אחר tan מתנהג לפי כלל הסימנים: חיובי היכן ש־sin ו־cos באותו סימן (רביעים I ו־III), ושלילי היכן שהם שונים. גרסת ה־tan של הטבלה מציגה את כל הערכים.

בוחן ותרגול על מעגל היחידה

העבירו את המעגל הנגרר למעלה למצב בחנו אותי: הוא מסתיר את הערכים, אתם אומרים אותם ואז בודקים. או ענו על השאלה הזו מהזיכרון:

כדי לתרגל על נייר, הדפיסו את הטבלה הריקה ומלאו את כל 16 הנקודות. כשתצליחו לעשות את זה בפחות משתי דקות בלי להסתכל, אתם יודעים את מעגל היחידה.

שאלות נפוצות

מהו מעגל היחידה?: זהו המעגל שהרדיוס שלו 1 והמרכז שלו בראשית הצירים. מותחים קו מהמרכז בזווית כלשהי ומסמנים את הנקודה שבה הוא חותך את המעגל: הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק (cos של הזווית, sin של הזווית). כך המעגל הופך שאלה על משולשים לשאלה על קואורדינטות, ואותן הרבה יותר קל לדמיין.
מה הערכים במעגל היחידה?: ב־16 הזוויות המיוחדות כל קואורדינטה היא אחד המספרים 0, 1/2, √2/2, √3/2 או 1, עם סימן. ברביע הראשון: 30° היא (√3/2, 1/2), 45° היא (√2/2, √2/2) ו־60° היא (1/2, √3/2). כל זווית מיוחדת אחרת חוזרת על אחד מהזוגות האלה עם הסימנים של הרביע שלה. הטבלה בעמוד הזה מציגה את כל 16 הזוויות, עם tan.
יש מעגל יחידה להדפסה או מעגל יחידה ריק?: כן. את הטבלה בראש העמוד אפשר להוריד כקובץ PDF בגודל Letter או כקובץ PNG, בשלוש גרסאות: עם קואורדינטות, עם קואורדינטות ו־tan, וריקה. בגרסה הריקה נשארים המעגל, הצירים ו־16 הנקודות, כך שאפשר למלא את כל התוויות בעצמכם.
למה הנקודה על מעגל היחידה היא (cos, sin) ולא (sin, cos)?: כי הקוסינוס מודד מרחק אופקי, ו־x היא הקואורדינטה האופקית. מורידים מהנקודה אנך לציר x ומקבלים משולש ישר זווית שהיתר שלו 1. הניצב האופקי צמוד לזווית, ולכן הוא cos חלקי 1, כלומר cos עצמו. הניצב האנכי מול הזווית, ולכן הוא sin.
איך זוכרים את מעגל היחידה?: לומדים שלושה מספרים וכלל אחד. המספרים הם 1/2, √2/2 ו־√3/2, הערכים של הרביע הראשון. הכלל הוא הסימן: cos שלילי בחצי השמאלי של המעגל ו־sin שלילי בחצי התחתון. כל זווית אחרת היא ערך מהרביע הראשון עם הסימנים האלה, שמוצאים לפי זווית הייחוס שלה.
איך ממירים בין מעלות לרדיאנים?: סיבוב שלם הוא 360 מעלות וגם 2π רדיאנים, ולכן חצי סיבוב הוא 180 מעלות ו־π רדיאנים. כופלים מעלות ב־π/180 כדי לקבל רדיאנים, או כופלים רדיאנים ב־180/π כדי לקבל מעלות. כך 30° היא π/6, 45° היא π/4, 60° היא π/3 ו־90° היא π/2.
למה tan לא מוגדר ב־90 מעלות?: tan הוא sin חלקי cos. ב־90° הנקודה נמצאת ישר למעלה ב־(0, 1), ולכן cos שווה 0, ולחלוקה ב־0 אין תשובה. אותו דבר קורה ב־270°. רואים את זה גם על המעגל: tan הוא השיפוע של הקו מהמרכז, ולקו אנכי אין שיפוע.

ללמוד מתמטיקה עם Coddy

להתחיל