מעגל היחידה
מעגל אחד ברדיוס 1, ובו כל ערך של סינוס, קוסינוס וטנגנס שתתבקשו אי פעם לזכור. גררו את הזווית וראו מאיפה המספרים מגיעים.
עודכן לאחרונה
כמעט כל מה שאנשים מוצאים קשה בטריגונומטריה הוא בעצם בעיית זיכרון: יותר מדי ערכים, יותר מדי סימנים, ואין דרך לבדוק אם הערך שזה עתה כתבתם הגיוני. מעגל היחידה הוא הפתרון. זו תמונה אחת שמכילה כל ערך שצריך, ומשאירה סימן שגוי נראה שגוי בעליל.
גררו את הנקודה למטה. שימו לב לשני הניצבים המקווקווים בזמן שאתם מסתובבים.
גררו את הנקודה. הניצב הירוק הוא cos, הניצב האדום הוא sin, ולכן הנקודה היא (cos, sin).
למה הנקודה היא (cos, sin)
למעגל יש רדיוס 1, וזה כל הטריק.
שרטטו קו מהמרכז אל המעגל בזווית כלשהי, ואז הורידו אנך מהנקודה הזו אל ציר x. עכשיו יש לכם משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הרדיוס, כך שהיתר שווה 1.
במשולש הזה, קוסינוס הוא הניצב ליד הזווית חלקי היתר. הניצב ליד הזווית הוא הניצב האופקי, והיתר הוא 1, ולכן קוסינוס הוא הניצב האופקי: חילוק ב-1 לא משנה דבר. אותו טיעון הופך את הסינוס לניצב האנכי.
לכן הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק (cos(x), sin(x)): קודם המרחק האופקי, אחר כך האנכי. זו הסיבה שהניצב הירוק בשרטוט מסומן cos והאדום sin, וזו הסיבה ש-cos בא קודם: x לפני y, אופקי לפני אנכי.
טנגנס הוא השלישי, והוא לא אורך בתמונה: הוא היחס sin(x)/cos(x), שהוא השיפוע של הקו ששרטטתם.
שלושת המספרים שבאמת צריך
כוונו את השרטוט ל-30, 45 ו-60 מעלות בזה אחר זה והסתכלו על הערכים:
| זווית | cos | sin |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
שלושה ערכים שונים, 1/2, sqrt(2)/2 ו-sqrt(3)/2, ושימו לב ש-30° ו-60° הם אותו זוג בסדר הפוך. זה לא צירוף מקרים: סכום שתי הזוויות הוא 90°, כך שהמשולשים שלהן הם אותו משולש שמסתכלים עליו מהקצה השני.
כל מה שבשלושת הרביעים האחרים הוא אחד משלושת המספרים האלה עם סימן לפניו. איזה סימן, זה נקבע לפי המקום שבו אתם נמצאים, ואפשר לקרוא אותו ישירות מהשרטוט: cos הוא המרחק האופקי, ולכן הוא שלילי בחצי השמאלי של המעגל. sin הוא המרחק האנכי, ולכן הוא שלילי בחצי התחתון. אין מה לשנן: פשוט הסתכלו לאן הניצב מצביע.
מעלות ורדיאנים הם אותה זווית
העבירו את השרטוט לרדיאנים וגררו שוב סביב. שום דבר בתמונה לא משתנה; רק התווית.
סיבוב שלם הוא 360°, והוא גם 2pi רדיאנים, כי ההיקף של מעגל ברדיוס 1 הוא 2pi, ולכן "רדיאן אחד" פירושו "קשת באורך רדיוס אחד". חצי סיבוב הוא 180° או pi. מכאן הזוויות המיוחדות הן שברים ברורים של חצי סיבוב: 30° היא שישית של 180°, ולכן היא pi/6; 45° היא רבע, pi/4; 60° היא שליש, pi/3.
רדיאנים נראים קשים יותר ובפועל הם קלים יותר, כי המכנה אומר לכם כמה פעמים הזווית הזו נכנסת בחצי סיבוב.
איפה טנגנס נשבר
גררו ל-90° והתצוגה של tan תכתוב לא מוגדר. זו לא מגבלה של הרכיב: זה חשבון. ב-90° הנקודה נמצאת ישר למעלה ב-(0, 1), כך ש-cos(x) הוא 0, ו-tan הוא sin(x)/cos(x). אין מספר ששווה ל-1 חלקי 0.
אותו דבר קורה ב-270°. בכל מקום אחר tan הוא מספר רגיל לגמרי, וב-45° הוא בדיוק 1, וזה הגיוני, כי שם sin ו-cos שווים וכל דבר חלקי עצמו הוא 1.
נסו בעצמכם
הניחו לשרטוט לרגע וענו מהזיכרון. אם תטעו, המעגל נמצא ממש כאן.
אם הייתם צריכים להסתכל, שווה לדעת את זה: זה אומר שהתמונה עוד לא נהייתה אוטומטית, ותרגול של תריסר כאלה הוא בדיוק מה שמתקן את זה.
שאלות נפוצות
- מהו מעגל היחידה?
- זה המעגל ברדיוס 1 שמרכזו בראשית הצירים. התועלת שלו נובעת מעובדה אחת: אם משרטטים קו מהמרכז בזווית מסוימת ומסמנים איפה הוא חותך את המעגל, הקואורדינטות של הנקודה הזו הן בדיוק (cos של הזווית, sin של הזווית). כך המעגל הופך שאלה על משולשים לשאלה על קואורדינטות, שהרבה יותר קל לדמיין.
- למה הנקודה על המעגל היא (cos, sin) ולא (sin, cos)?
- כי קוסינוס מודד מרחק אופקי, וקואורדינטת x היא האופקית. הורידו אנך מהנקודה לציר x ותקבלו משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא 1. הניצב האופקי נמצא ליד הזווית, ולכן הוא cos חלקי 1, כלומר פשוט cos. הניצב האנכי נמצא מול הזווית, ולכן הוא sin. לכן קואורדינטת x היא cos וקואורדינטת y היא sin, בסדר הזה.
- האם צריך לשנן את כל מעגל היחידה?
- לא, והניסיון לעשות זאת הוא הטעות הרגילה. יש רק שלושה ערכים שצריך: 1/2, √2/2 ו-√3/2, וכלל אחד לסימנים. כל השאר הוא שלושת המספרים האלה עם פלוס או מינוס לפניהם, לפי הרביע שבו אתם נמצאים. למדו את הרביע הראשון ואת כלל הסימנים, ויש לכם את כל שש-עשרה הזוויות.
- איך ממירים בין מעלות לרדיאנים?
- סיבוב שלם הוא 360 מעלות וגם 2π רדיאנים, כך שחצי סיבוב הוא 180 מעלות ו-π רדיאנים. מכאן ההמרה: הכפילו מעלות ב-π/180 כדי לקבל רדיאנים, או הכפילו רדיאנים ב-180/π כדי לקבל מעלות. בפועל כמעט לא צריך לחשב: 30, 45, 60 ו-90 מעלות הן π/6, π/4, π/3 ו-π/2, וכל זווית מיוחדת אחרת היא כפולה שלהן.
- למה tan לא מוגדר ב-90 מעלות?
- כי tan הוא sin חלקי cos, וב-90 מעלות cos שווה 0. חילוק באפס אינו מספר, ולכן ל-tan אין שם ערך. בגרף של tan רואים את זה כאסימפטוטה אנכית: כשהזווית מתקרבת ל-90 מעלות הערך מזנק בלי להגיע אף פעם לשום מקום.
