מערכת הצירים
שני ישרי מספרים שנחתכים בזווית ישרה, ופתאום לכל זוג מספרים יש מקום. שני הדברים שאנשים טועים בהם הם סדר הזוג ואיזה רביע הוא איזה, ושניהם שווים תרגול ולא רק קריאה.
עודכן לאחרונה
לפני מערכת הצירים, ישר היה משהו שמשרטטים ומעגל היה משהו שמודדים. אחריה, שניהם משוואות שאפשר לחשב איתן. כל שרטוט הגרפים, ורוב מה שתעשו באלגברה אחר כך, נשען על רעיון קטן אחד: זוג מספרים הוא שם של מקום.
לחצו בכל מקום על הרשת שלמטה. הקווים המקווקווים מראים איך הזוג נבנה.
לחצו בכל מקום. הקווים המקווקווים מראים איך קוראים את הזוג: קודם לאורך ציר x, ואז למעלה לאורך ציר y.
קודם לרוחב, ואז למעלה
כל אחד משני הצירים עושה עבודה אחת. ציר x עובר משמאל לימין ומודד כמה רחוק לרוחב; ציר y עובר מלמטה למעלה ומודד כמה רחוק למעלה. המקום שבו הם נחתכים הוא ראשית הצירים, שהיא (0, 0): אפס מרחק בשני הכיוונים.
כדי לתת שם לנקודה נותנים שני מספרים בסדר קבוע: לרוחב, ואז למעלה. כך (3, 2) אומר שלושה ימינה ושניים למעלה. שום דבר בנקודה עצמה לא אומר איזה מספר הוא איזה, ולכן הסדר נושא את המידע הזה, ובגלל זה קוראים להם זוגות סדורים, ובגלל זה (3, 2) ו־(2, 3) הם מקומות שונים.
אם אתם ממשיכים להתבלבל ביניהם, יש טריק אחד שנוטה להיקלט: x בא לפני y באלפבית, ולכן הוא בא ראשון בזוג.
מספרים שליליים פשוט הופכים את הכיוון. שיעור x שלילי אומר ללכת שמאלה במקום ימינה; y שלילי אומר ללכת למטה במקום למעלה. לחצו באזור השמאלי התחתון של הרשת שלמעלה וראו איך שני הסימנים הופכים לשליליים יחד.
ארבעת הרביעים
שני הצירים חותכים את המישור לארבעה אזורים, והם ממוספרים החל מלמעלה מימין, נגד כיוון השעון:
| רביע | x | y | דוגמה |
|---|---|---|---|
| I | חיובי | חיובי | (3, 2) |
| II | שלילי | חיובי | (-4, 1) |
| III | שלילי | שלילי | (-2, -3) |
| IV | חיובי | שלילי | (4, -2) |
הסדר נגד כיוון השעון נראה כמו בחירה מוזרה עד שפוגשים זוויות, שגם הן נמדדות נגד כיוון השעון מהחלק החיובי של ציר x. שתי המוסכמות מתאימות זו לזו בכוונה.
אין אזור חמישי לצירים עצמם. נקודה כמו (0, 3) יושבת על ציר y, ונקודה כמו (-4, 0) על ציר x; אף אחת מהן לא נמצאת ברביע, כי הצירים הם הגבולות. הרכיב שלמעלה אומר את זה במפורש כשאתם לוחצים על אחד מהם, כי זה המקרה שאנשים הכי הרבה מנחשים בו.
סימון של קבוצת נקודות שלמה
ברגע שנקודות בודדות הופכות לאוטומטיות, רשימה שלהן מתחילה לומר משהו. הנה ארבע נקודות שמסומנות על אותם צירים:
הן לא מפוזרות: הן מסתדרות בשורה. זה הרגע שבו מערכת הצירים מתחילה להצדיק את עצמה: דפוס ברשימת מספרים הופך לצורה שאפשר לראות, וצורה שאפשר לראות אפשר בדרך כלל לכתוב כמשוואה. במקרה הזה כל y הוא חצי מה־x שלו, ולכן הישר הוא y = 1/2x.
נסו אחד
הרשת נמצאת למעלה אם תצטרכו אותה, אבל נסו קודם למקם את הנקודה הזאת בראש.
הנקודה היא (-3, 5), והשאלה עסקה בכוונה במספר השני, כי ההרגל לקרוא זוג לפי הסדר הוא הדבר ששווה לבנות.
שאלות נפוצות
- מהי מערכת צירים?
- אלה שני ישרי מספרים שנחתכים בזווית ישרה: ישר אופקי שנקרא ציר x וישר אנכי שנקרא ציר y. הם נפגשים בנקודה שנקראת ראשית הצירים, שהיא (0, 0). אז אפשר לקרוא לכל נקודה במישור בשם של זוג מספרים: כמה רחוק לרוחב, וכמה רחוק למעלה.
- איזה מספר בא ראשון בזוג סדור?
- שיעור ה־x, תמיד. הזוג (3, 2) אומר ללכת 3 לרוחב ו־2 למעלה, לא להפך. הסדר האלפביתי הוא דרך אמינה לזכור: x בא לפני y באלפבית, והוא בא ראשון בזוג. המילה 'סדור' ב'זוג סדור' עושה עבודה אמיתית: (3, 2) ו־(2, 3) הן שתי נקודות שונות.
- איך ממוספרים ארבעת הרביעים?
- הם מתחילים למעלה מימין והולכים נגד כיוון השעון: רביע I הוא למעלה מימין, ששם שני השיעורים חיוביים, II למעלה משמאל (x שלילי, y חיובי), III למטה משמאל (שניהם שליליים), ו־IV למטה מימין (x חיובי, y שלילי). נגד כיוון השעון נראה שרירותי, אבל זה תואם את הכיוון שבו מודדים זוויות, ולכן שווה ללמוד את זה בכיוון הזה.
- באיזה רביע נמצאת נקודה שעל ציר?
- באף אחד. הצירים הם הגבולות בין הרביעים, לא חלק מאחד מהם, ולכן נקודה כמו (0, 3) או (-4, 0) מתוארת כנמצאת על ציר y או על ציר x ולא ברביע. ראשית הצירים נמצאת על שניהם.
- למה קוראים לה מערכת צירים קרטזית?
- על שם רנה דקארט, שפרסם בשנת 1637 את הרעיון לתת לנקודות שמות של זוגות מספרים. זה אחד הרעיונות השימושיים ביותר במתמטיקה: הוא הופך גאומטריה לאלגברה. ישר מפסיק להיות ציור והופך למשוואה, וזה מה שמאפשר לחשב איתו.
