מרדיוס 3
plain
r = 3C = 2π · 3 = 6π בדיוק, שזה בערך 18.8496. השטח הוא π · 3² = 9π, בערך 28.27. שימו לב שהרדיוס מועלה בריבוע בשטח ולא בהיקף: ההבדל היחיד הזה הוא רוב מה שמשתבש בנושא הזה.
מחשבון היקף מעגל
כל מידה אחת של מעגל נותנת את כל השאר, כש-pi נשאר pi.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
מספר אחד קובע מעגל לגמרי
למעגל יש רק דרגת חופש אחת, ולכן כל מידה בודדת קובעת את כל האחרות. מהרדיוס r: הקוטר הוא 2r, ההיקף הוא 2πr, והשטח הוא πr². שלוש הנוסחאות האלה הן כל הנושא, והדבר היחיד שצריך לזכור הוא שההיקף משתמש ברדיוס פעם אחת, ואילו השטח משתמש בו פעמיים: בריבוע, לא כפול שתיים.
π הוא מה שהופך מעגל למעגל: זה היחס בין כל היקף לקוטר שלו, אותו מספר לכל מעגל שצויר אי פעם. הוא אי רציונלי, ולכן אין לו ייצוג עשרוני מדויק, וזו בדיוק הסיבה שהדף הזה משאיר אותו כאות π. היקף של 6π הוא תשובה מדויקת; 18.85 הוא עיגול, והשניים אינם ניתנים להחלפה כשמחוון בודק אחד מהם.
הדיוק הזה עובד גם לאחור. תנו היקף של 10 והרדיוס הוא 5/π, עדיין מדויק, עדיין מספר ממשי, והשטח יוצא 25/π. כל מחשבון מתחרה כופל ב-3.14159 כבר בשלב הראשון, ולכן לעולם לא יוכל להחזיר את התשובה ששאלה בבית הספר מבקשת.
למה לשים לב
- C = 2πr ו-C = πd הן אותה נוסחה, כי d = 2r. השתמשו במידה שקיבלתם במקום להמיר קודם.
- השטח מעלה את הרדיוס בריבוע; ההיקף לא. הכפלת הרדיוס של מעגל מכפילה את ההיקף שלו אבל מגדילה את השטח פי ארבעה.
- π הוא יחס, לא אורך: זה ההיקף חלקי הקוטר, והוא יוצא זהה לכל מעגל. על העובדה הזו נשען כל הנושא.
- תשובה של 6π מדויקת ו-18.85 לא. השאירו את ה-π אלא אם השאלה מבקשת מספר עשרוני או נותנת לכם ערך של π לשימוש.
- חזרה לאחור מהיקף מחלקת ב-2π, מה שמשאיר את π במכנה. 5/π הוא מספר רגיל, בערך 1.59.
- היחידות הולכות אחרי המידה: רדיוס בסנטימטרים נותן היקף בסנטימטרים ושטח בסנטימטרים רבועים.
איך מחשבים היקף מעגל
זהו מה קיבלתם
רדיוס, קוטר או היקף. קל לבלבל ביניהם בשאלה מילולית, ושימוש בקוטר במקום שהנוסחה מבקשת רדיוס מכפיל את התשובה.
אם זה קוטר, חלקו אותו בשתיים
r = d/2. כשעושים את זה קודם, צריך רק נוסחה אחת במקום לזכור שתיים.
כפלו ב-2π
C = 2πr. השאירו את π כאות בינתיים: 2π · 3 הוא 6π, וזו תשובה מדויקת וגמורה.
רק אז עברו למספר עשרוני
אם השאלה מבקשת מספר, כפלו ב-3.14159… ממש בסוף. עיגול מוקדם מאבד דיוק שנדרש לשאר השלבים בבעיה רב שלבית.
כדי לחזור לאחור, חלקו
מהיקף, r = C/(2π). ה-π נשאר במכנה, וזה מדויק; חלוקה ב-3.14 כאן היא המקום שבו בדרך כלל זורקים את הדיוק.
מעגלים במספרים
אותן ארבע מידות לרדיוסים נפוצים. העמודה המדויקת היא התשובה; המספר העשרוני הוא עיגול שלה.
| רדיוס | קוטר | היקף | שטח | C כמספר עשרוני |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
דוגמאות פתורות
מקוטר 10
plain
d = 10חלקו קודם בשתיים: r = 5. אז C = 2π · 5 = 10π, ו-A = π · 5² = 25π. שימוש ישיר בקוטר ב-C = 2πr היה נותן 20π, בדיוק פי שניים מדי, וזו הטעות הנפוצה ביותר כאן.
לאחור מהיקף של 10
plain
C = 10r = 10/(2π) = 5/π, שזה מדויק ובערך 1.5915. השטח הוא אז π · (5/π)² = 25/π, בערך 7.96. השארת π במכנה היא מה שהופך את אלה למדויקים; חלוקה של 10 ב-6.28 קודם הייתה מעגלת עוד לפני שהתחלנו לחשב את השטח.
רדיוס שברי: 1/2
plain
r = 1/2C = 2π · 1/2 = π בדיוק: למעגל ברדיוס חצי יש היקף של בדיוק π. השטח שלו הוא π/4. שברים נשארים שברים, כך ששום דבר לא הולך לאיבוד בדרך.
למה 6π זה לא 18.85
plain
r = 36π הוא מספר מדויק אחד. 18.8496 הוא מספר עשרוני שמתאים לו עד ארבע ספרות אחרי הנקודה ואז שונה ממנו לנצח, כי π אי רציונלי. אם שאלה אומרת "תנו את התשובה במונחי π", 6π היא התשובה ו-18.85 ייחשב שגוי.
טעויות נפוצות
- להציב קוטר ב-C = 2πr. זה מכפיל את התשובה; חלקו אותו בשתיים לרדיוס קודם, או השתמשו ב-C = πd במקום.
- להעלות את הרדיוס בריבוע בחישוב ההיקף. C = 2πr משתמשת ב-r פעם אחת; רק השטח מעלה אותו בריבוע.
- לעגל את π בהתחלה. כפלו ממש בסוף אם צריך מספר עשרוני, כדי שהשלבים שבדרך יישארו מדויקים.
- להשתמש ב-22/7 כאילו היה π. זה קירוב גס, שסוטה בערך באלפית: מתאים לחשבון בראש, שגוי לתשובה מדויקת.
- לשכוח שהיחידות של שטח הן בריבוע. רדיוס במטרים נותן היקף במטרים ושטח במטרים רבועים.
- לבלבל בין היקף מעגל להיקף של צורה אחרת. היקף מעגל הוא ספציפית הדרך מסביב למעגל; לצורה עם צלעות ישרות יש היקף שהוא סכום הצלעות.
שאלות נפוצות על היקף מעגל
מה הנוסחה להיקף מעגל?
C = 2πr מהרדיוס, או הנוסחה הזהה C = πd מהקוטר, כי קוטר הוא שני רדיוסים. לרדיוס 3 זה 6π, שזה בערך 18.85. השתמשו במידה שבאמת קיבלתם.
איך מוצאים את הרדיוס מההיקף?
חלקו ב-2π: r = C/(2π). היקף של 10 נותן r = 5/π, בערך 1.59. השארת π במכנה הופכת את התשובה למדויקת: חלוקה ב-3.14 קודם מעגלת לפני שסיימתם.
מה ההבדל בין היקף לשטח?
ההיקף הוא המרחק מסביב לשפה ומשתמש ברדיוס פעם אחת: 2πr. השטח הוא המרחב שבפנים ומשתמש בו פעמיים: πr². לכן הכפלת רדיוס מכפילה את ההיקף אבל מגדילה את השטח פי ארבעה.
מה פירוש "במונחי pi"?
השאירו את π כסימן במקום לכפול אותו: 6π ולא 18.85. זו התשובה המדויקת, ורוב שאלות המבחן מבקשות אותה כי אפשר לבדוק אותה בלי מחשבון, וכי 18.85 הוא רק קירוב.
האם 22/7 זה אותו דבר כמו pi?
לא. 22/7 הוא 3.142857…, ואילו π הוא 3.141592…, כך שהם נבדלים מהספרה השלישית אחרי הנקודה והלאה. זה קירוב נוח לחשבון בראש ותשובה שגויה בכל פעם שהדיוק חשוב; π אי רציונלי ואין לו שום ערך מדויק כשבר.
למה pi זהה לכל מעגל?
כי כל המעגלים הם אותה צורה בהגדלה או בהקטנה, ושינוי קנה מידה כופל את ההיקף ואת הקוטר באותו גורם, כך שהיחס ביניהם אף פעם לא משתנה. היחס הקבוע הזה הוא π, ולכן הוא מופיע בכל נוסחה של מעגל.
איך מוצאים את הקוטר מההיקף?
חלקו ב-π: d = C/π. זה שלב אחד ולא שניים, כי C = πd ישירות. היקף של 10 נותן קוטר של 10/π, בערך 3.18, וחצי מזה הוא הרדיוס.
האם המחשבון הזה מקבל שטח כקלט?
לא, בכוונה. משטח, r = √(A/π), שזה לא שבר וגם לא שבר כפול חזקה של π, ולכן קבלת שטח כקלט הייתה מחייבת תשובה מעוגלת או תשובה מדויקת מזויפת. השטח תמיד מוצג; הוא פשוט לא קלט.
