חיבור שברים

לחיבור שברים יש מוניטין, והוא מוצדק במובן צר אחד: זו הפעולה היחידה מבין ארבע פעולות החשבון שיש בה שלב נוסף. כפל וחילוק עוברים ישר. חיבור עוצר ומבקש מכם קודם לכתוב את שני השברים מחדש.

השלב הנוסף אינו מוסכמה שמישהו המציא. הוא מתחייב, והפסים שלמטה מראים למה.

אי אפשר לספור יחד חלקים בגדלים שונים

שני הפסים העליונים הם שני השברים. בערכי ההתחלה אחד חתוך לחצאים והשני לשלישים: חיתוכים שונים, ולכן החלקים שלהם בגדלים שונים. אין דרך הוגנת לומר כמה חלקים יש לכם בסך הכול, כי חצי ושליש הם לא אותו דבר. "חלק אחד ועוד חלק אחד הם שני חלקים" היה נותן 2/5, שזה פחות מהחצי שהתחלתם איתו.

הפס השלישי מתקן את זה. שני השברים נחתכים מחדש לשישיות: החצי הופך ל־3 מהן, השליש הופך ל־2 מהן, ועכשיו אלה חלקים בגודל אחד שאפשר פשוט להצמיד זה לזה.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

שימו לב מה המכנה עשה בזמן החיבור: כלום. הוא אינו כמות שמחברים, הוא תווית שאומרת איזה סוג חלק סופרים. שלוש שישיות ועוד שתי שישיות הן חמש שישיות מאותה סיבה ששלושה תפוחים ועוד שני תפוחים הם חמישה תפוחים.

זו גם הסיבה שחיבור המכנים שגוי. 1/4 + 1/4 הוא 2/4, חצי, וחיבור המכנים היה נותן 2/8, שזה רבע, הכמות שהייתה לכם לפני שחיברתם משהו.

כשהמכנים כבר שווים, אין מה לעשות

קבעו באיור את שני המכנים לאותו מספר, והפס השלישי נחתך כמו שני האחרים, כי העבודה כבר נעשתה:

2/7 + 3/7 = 5/7

מחברים את המונים, שומרים את המכנה, מצמצמים אם אפשר. זה כל הכלל, וכל השאר בעמוד הזה קיים כדי להביא אתכם למצב הזה.

מציאת המכנה המשותף

צריך מספר ששני המכנים מחלקים. יש שתי דרכים למצוא כזה:

המכנה המשותף הקטן ביותר הוא המספר הקטן ביותר כזה: הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שני המכנים. הוא שומר על חשבון עם מספרים קטנים.

הכפלת שני המכנים תמיד עובדת, לא דורשת מחשבה, ונותנת מספרים גדולים יותר שמצמצמים בסוף.

שתי העמודות מגיעות לאותה תשובה. עמודת מכפלת המכנים פשוט סוחבת מספרים גדולים יותר בדרך, כך ש־1/4 + 1/6 מגיע כ־10/24 וצריך לצמצם אותו ל־5/12, בעוד שדרך המכנה המשותף הקטן ביותר נוחתת על 5/12 ישירות.

שימו לב לתצוגה באיור כשאתם מזיזים את המכנים: כשמכנה אחד כבר מחלק את השני, המכנה המשותף הוא פשוט הגדול מביניהם. 2/5 + 1/10 צריך 10, לא 50, כי חמישיות כבר בנויות מעשיריות.

כתיבה מחדש של כל שבר

כשיש לכם את המכנה, כל שבר נכתב מחדש על ידי הכפלת המונה והמכנה שלו במה שמביא אותו לשם: שבר שקול, לא יותר:

3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24

1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24

9/24 + 4/24 = 13/24

המכפיל שונה לכל שבר, וזה נורמלי: 8 צריך 3 כדי להגיע ל־24, ו־6 צריך 4. מה שחייב להיות זהה לשניהם הוא המכנה שמגיעים אליו.

חיסור הוא אותו עמוד

כל מה שלמעלה נכון, עם סימן אחד שמשתנה ממש בסוף:

5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

מכנה משותף, ואז מחסרים את המונים. אם התשובה יוצאת שלילית, זו תשובה אמיתית ולא טעות: 1/4 - 5/6 הוא -7/12.

נסו אחד

3/8+1/6

אם קיבלתם 4/14, חיברתם את המכנים. אם קיבלתם 26/48, הכפלתם את המכנים במקום לקחת את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר שלהם: הכמות נכונה, אז צמצמו אותה ותגיעו ל־13/24 בכל מקרה.