צמצום 12/16
plain
12/1612 הוא 2² · 3, ו־16 הוא 2⁴. המשותף להם הוא 2², ולכן המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 4: מחלקים את שני החלקים ומקבלים 3/4. חילוק ב־2 במקום זה היה נותן 6/8, שזה נכון אבל לא גמור: ל־6 ול־8 עדיין יש 2 משותף.
מחשבון צמצום שברים
צמצמו כל שבר עד הסוף, כשהגורם המשותף נמצא ולא מונח מראש.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
צמצום שבר הוא חילוק אחד, שנעשה בשני החלקים
ערכו של שבר לא משתנה כששני החלקים שלו מוכפלים או מחולקים באותו מספר: 12/16, 6/8 ו־3/4 הם כמות אחת שכתובה בשלוש דרכים. לצמצם פירושו לחלק את המונה ואת המכנה בכל מה שמשותף להם, עד שלא נשאר להם שום דבר משותף. המספר שבו מחלקים הוא המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם, וזה הדבר היחיד שצריך למצוא.
רוב המחשבונים מדפיסים את השבר המצומצם ועוצרים, וכך מסתירים את החצי המעניין. כאן שני החלקים מפורקים קודם לגורמים ראשוניים: 12 הוא 2² · 3 ו־16 הוא 2⁴, המשותף להם הוא 2², ולכן הגורם הוא 4. זו הסיבה שזה 4 ולא 2 ולא 8, ואחרי שרואים את זה פעמיים או שלוש מפסיקים להזדקק למחשבון, וזה בדיוק העניין.
הכול מדויק. 1/3 מוצג כ־0.333… עם סימון של החלק המחזורי ולא כ־0.3333333333, שישית כאחוז היא 16⅔% ולא 16.67%, ומספר מעורב שומר על הסימן שלו על כל הכמות, כך ש־-2 3/4 הוא -11/4 ואף פעם לא -5/4.
מה כדאי לשים לב
- צורה מצומצמת פירושה ששני החלקים לא חולקים שום גורם גדול מ־1. זה תנאי הסיום, לא "המספרים נראים קטנים".
- הגורם שבו מחלקים הוא המחלק המשותף הגדול ביותר. חילוק בגורם משותף קטן יותר גם עובד, רק שזה דורש יותר מסיבוב אחד: 12/16 חלקי 2 נותן 6/8, שעדיין צריך עוד 2.
- צמצום שבר ומציאת מחלק משותף גדול ביותר הם אותה בעיה. מי שיודע לעשות אחת יודע לעשות את השנייה, ושני המחשבונים כאן הולכים באותה דרך בכוונה.
- שבר שהחלקים שלו זרים זה לזה כבר גמור. 7/9 אי אפשר לצמצם, והמידע הזה הוא תשובה ולא כישלון.
- צמצום אף פעם לא משנה את המספר העשרוני או את האחוז, כי הוא אף פעם לא משנה את הערך. זו בדיקה חינמית לעבודה שלכם: אם המספר העשרוני זז, חילקתם רק חלק אחד.
איך מצמצמים שבר
טפלו קודם במספר מעורב
אם יש מספר שלם מלפנים, הכניסו אותו לשבר: כופלים את השלם במכנה ומוסיפים את המונה. 2 6/8 הופך ל־(2 · 8 + 6)/8 = 22/8. הסימן, אם יש, שייך לכל הכמות.
פרקו את שני החלקים לגורמים ראשוניים
22 הוא 2 · 11 ו־8 הוא 2³. כתיבה שלהם במלואם היא מה שהופך את הגורמים המשותפים לגלויים במקום לניחוש.
כפלו את הראשוניים המשותפים
קחו כל ראשוני ששני המספרים מכילים, כמה פעמים ששניהם מכילים אותו. כאן זה 2 אחד, ולכן המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 2.
חלקו בו את שני החלקים
22 ÷ 2 = 11 ו־8 ÷ 2 = 4, ולכן השבר הוא 11/4. בדקו את הסיום: ל־11 ול־4 אין שום דבר משותף, ולכן זו הצורה המצומצמת ביותר.
כתבו את זה כמו שהשאלה רוצה
11/4 גדול משלם אחד, ולכן אפשר לכתוב אותו גם כמספר המעורב 2 3/4. זה אותו ערך, ובדרך כלל הצורה המצופה כשהשאלה התחילה במספר מעורב.
שברים בצורה המצומצמת ביותר
אותן שמונה כמויות בכל תחפושת: השבר כפי שניתן, הגורם שיוצא, הצורה המצומצמת, המספר העשרוני המדויק והאחוז המדויק.
| שבר | מחלק משותף גדול ביותר | צורה מצומצמת | עשרוני | אחוז |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
דוגמאות פתורות
שבר שכבר גמור: 7/9
plain
7/97 הוא ראשוני ו־9 הוא 3², ולכן אין להם שום גורם משותף גדול מ־1 ואי אפשר לצמצם את השבר. הדף אומר זאת במקום להעמיד פנים שהוא עובד: "כבר בצורה המצומצמת ביותר" היא התשובה לשאלה שנשאלה.
שבר גדול: 84/126
plain
84/12684 הוא 2² · 3 · 7 ו־126 הוא 2 · 3² · 7. משותפים: 2 אחד, 3 אחד, 7 אחד, ולכן הגורם הוא 42, והשבר קורס ישר ל־2/3. לזהות את 42 בעין זה קשה; לקרוא אותו משני הפירוקים זה לא.
מספר מעורב: 2 6/8
plain
2 6/8קודם מכניסים את השלם: 2 · 8 + 6 = 22, כלומר 22/8. אחר כך מצמצמים ב־2 ומגיעים ל־11/4, וכותבים בחזרה כ־2 3/4. לא היה צורך לגעת במספר השלם: רק חלק השבר היה בכלל ניתן לצמצום.
שבר שהופך למספר שלם: 18/6
plain
18/6המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 6, וחילוק שני החלקים נותן 3/1, שזה פשוט 3. קו שבר מעל כלום נראה כמו טעות, ולכן התשובה נכתבת כ־3 פשוט.
טעויות נפוצות
- חילוק של חלק אחד בלבד. 12/16 אינו 3/16. כל מה שעושים למונה חייבים לעשות למכנה, אחרת שיניתם את הערך.
- לעצור מוקדם מדי. 6/8 הוא צמצום נכון של 12/16 ועדיין לא התשובה: ברוב הבדיקות מצפים לצורה המצומצמת ביותר.
- חיסור במקום חילוק. 12/16 אינו 8/12 "כי הורדתי 4 משניהם". שברים הם יחסים; רק כפל וחילוק משאירים אותם כמו שהם.
- צמצום דרך חיבור. ב־(4 + 6)/2 אי אפשר לצמצם את ה־4 עם ה־2: ה־2 מחלק את כל המונה, ולכן הסכום בא קודם.
- הצמדת הסימן של מספר מעורב לחלק השבר. -2 3/4 פירושו -(2 + 3/4) = -11/4. קריאה שלו כ־-2 + 3/4 נותנת -5/4, שזה מספר אחר לגמרי.
- עיגול בדרך. אם צריך מספר עשרוני או אחוז, השיגו קודם את השבר המדויק: 1/3 שנכתב כ־0.33 כבר אינו שליש.
שאלות נפוצות על צמצום שברים
איך מצמצמים שבר?
מחלקים את המונה ואת המכנה במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. עבור 12/16 הגורם הזה הוא 4, ומתקבל 3/4. אם לא רואים את הגורם, מפרקים את שני המספרים לראשוניים וכופלים את המשותפים: המכפלה הזו היא המחלק המשותף הגדול ביותר.
מה פירוש "שבר מצומצם" או "הצורה הפשוטה ביותר"?
פירושו שלמונה ולמכנה אין גורם משותף גדול מ־1. 3/4 מצומצם; 6/8 לא, כי שני החלקים עדיין זוגיים. שני הביטויים אומרים בדיוק אותו דבר, וכך גם "מצומצם עד הסוף".
איך יודעים שאי אפשר לצמצם שבר?
כשהמחלק המשותף הגדול ביותר של שני החלקים הוא 1; המספרים נקראים אז זרים. בדיקה מהירה: אם המונה ראשוני ואינו מחלק את המכנה, סיימתם. 7/9, 5/12 ו־13/20 כולם גמורים כמו שהם.
האם אפשר לצמצם כאן מספרים מעורבים ושברים מדומים?
כן. מספר מעורב מוכנס קודם לשבר יחיד (2 6/8 הופך ל־22/8), מצומצם, ואז נכתב בחזרה כמספר מעורב אם הוא גדול משלם אחד. שברים מדומים מטופלים באותה דרך, ומקבלים את התשובה בשתי הצורות.
למה התשובה מציגה מספר עשרוני מחזורי ולא מעוגל?
כי אלה מספרים שונים. שליש הוא 0.333… לנצח, ו־0.333 אינו שליש: הוא קטן ממנו באחד חלקי שלושת אלפים. סימון החלק המחזורי הוא הדרך היחידה לכתוב את הערך בכנות, ולכן הדף עושה זאת במקום לעגל.
האם צמצום שבר זה כמו מציאת מחלק משותף גדול ביותר?
למעשה כן: כל העבודה היא למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר ואז לעשות בו חילוק אחד. לכן הדף מציג את שני הפירוקים, ולכן מחשבון המחלק המשותף הגדול ביותר כאן הולך באותה דרך: זו מיומנות אחת עם שני שמות.
האם חייבים לצמצם את התשובות?
כמעט תמיד, כן. שבר לא מצומצם אינו שגוי בערכו, אבל רוב מחווני הבחינות וספרי הלימוד נותנים את הנקודה על הצורה המצומצמת, והשוואת שברים קלה הרבה יותר כששניהם מצומצמים. היוצא מן הכלל הוא שאלה שמבקשת מכנה מסוים.
