חוקי חזקות
חמישה חוקים שכל תלמיד מעתיק לכרטיסייה, וחצי מהתלמידים מפעילים אחר כך לא נכון. כשכותבים אותם ככפל חוזר, אף אחד מהם לא צריך להיזכר בכלל.
עודכן לאחרונה
כולם מעתיקים את חוקי החזקות לכרטיסייה, וסמסטר אחר כך חצי מהם מופעלים על הדבר הלא נכון. זה לא כשל של זיכרון. חוק ששיננתם בלבד לא נותן לכם שום דרך לדעת אם הוא חל, ולכן משתמשים בו בכל מקום שהוא נראה מתאים על פני השטח.
הפתרון הוא להפסיק להתייחס אליהם כאל חוקים. בחרו אחד למטה וקראו את השורה האמצעית.
השורה האמצעית היא ההוכחה. כל אחד מהחוקים האלה מובן מאליו ברגע שכותבים את החזקות ככפל חוזר, כלומר אף פעם לא צריך לסמוך על הזיכרון בשבילם.
כל חוק הוא טיעון של ספירה
a^3 הוא קיצור. מה שהוא באמת אומר הוא a · a · a: שלושה עותקים של a, מוכפלים זה בזה. ברגע ששני האגפים של חוק כתובים כך, החוק מפסיק להיות טענה והופך לספירה.
כפל: שני עותקים ליד שלושה עותקים הם חמישה עותקים.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
לא חיברתם את המעריכים כי חוק אמר לכם. חיברתם אותם כי ספרתם כמה a יש בסוף בשורה.
חילוק: חמישה עותקים חלקי שני עותקים, ושניים מהם מצטמצמים.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
חזקה של חזקה: שלושה עותקים של "שני עותקים" הם שישה עותקים.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
שלושה חוקים, טיעון אחד. הסיבה שאנשים מתבלבלים בין "לחבר" ל"לכפול" היא ששיננו את הפעלים במקום את הספירה.
מעריך אפס ומעריך שלילי מתחייבים, לא נבחרים
שני אלה מרגישים כמו מוסכמות שמישהו בחר, והם לא.
קחו את a3/a3. כל דבר חלקי עצמו הוא 1. אבל חוק החילוק אומר שזה a^(3-3) = a^0. שניהם מתארים את אותו חילוק, ולכן a^0 = 1 הוא הערך היחיד ששומר על עקביות החוקים.
המשיכו למטה. כל צעד למטה במעריך מחלק ב־a פעם נוספת:
| חזקה | ערך כש־a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
שום דבר לא משנה כיוון באפס: החציה פשוט ממשיכה. זה כל מה שמעריך שלילי הוא: a^-n = 1/a^n. בפרט, הוא לא מספר שלילי. 2^-3 הוא 1/8, שהוא חיובי.
שלוש הטעויות ששווה לתת להן שם
בסיסים שונים לא מתאחדים. 2^3 · 3^4 נשאר כמו שהוא. החוקים עוסקים בספירת עותקים של אותו דבר, ואלה סופרים שני דברים שונים.
חיבור איברים אינו כפל שלהם. x^2 + x^3 אינו x^5. כתבו את זה: שני עותקים ועוד שלושה עותקים אינם חמישה עותקים, זה סכום של שתי כמויות שונות. שום דבר לא מצטמצם, שום דבר לא מתאחד.
חזקות מתפלגות על מכפלות, לא על סכומים. (ab)^2 = a2b2 נכון: שני עותקים של ab הם שני a ושני b. אבל (a+b)^2 אינו a^2 + b^2; הוא נפתח ל־a^2 + 2ab + b^2, והאיבר האמצעי הוא בדיוק מה שחוק הפילוג צופה.
נסו אחד
אם הושטתם יד למחשבון, נסו שוב בצמצום: ארבעה עותקים של 3 חלקי שני עותקים של 3 משאירים שני עותקים, ושני עותקים של 3 הם 9. זו הגרסה שממשיכה לעבוד כשהבסיס הוא x ולא 3.
לאן זה ממשיך
חוקי החזקות הם מה שגורם לחשבון בכתיב מדעי לעבוד, מה שהופך שורש לחזקה עם מעריך שבור, ומה שמאפשר ללוגריתם להפוך כפל לחיבור. שלושתם הם אותם חמישה חוקים, נקראים בכיוון אחר, וזו סיבה טובה להחזיק בהם בזכות הטיעון ולא בעל פה.
שאלות נפוצות
- מהם חוקי החזקות?
- חמישה שנושאים כמעט הכול: כפל חזקות עם אותו בסיס מחבר את המעריכים, חילוק מחסר אותם, העלאת חזקה בחזקה כופלת אותם, כל דבר בחזקת 0 הוא 1, ומעריך שלילי פירושו אחד חלקי החזקה עם המעריך החיובי. כל החמישה נובעים מכתיבה של החזקות ככפל חוזר.
- למה כל מספר בחזקת אפס שווה ל־1?
- בגלל חוק החילוק. כל מספר שמחולק בעצמו הוא 1, וחוק החילוק אומר שאותו חילוק הוא הבסיס בחזקת המעריך פחות עצמו, כלומר 0. שתי הטענות מתארות את אותו חילוק, ולכן a בחזקת 0 חייב להיות 1. זה מתחייב, לא נקבע בצו, והחריג היחיד הוא 0 בחזקת 0, שנשאר לא מוגדר.
- מה פירוש מעריך שלילי?
- הוא פירושו מספר הופכי, לא מספר שלילי. 2 בחזקת -3 הוא 1/8, שהוא חיובי. המשיכו לחלק בבסיס כשהמעריך יורד, 8, 4, 2, 1, והמשך מעבר ל־1 נותן 1/2, 1/4, 1/8. מעריך שלילי אומר לכם כמה פעמים לחלק במקום לכפול.
- מתי מותר לחבר מעריכים ומתי לא?
- רק כשהבסיסים זהים ומכפילים. 2 בשלישית כפול 2 ברביעית הוא 2 בשביעית, אבל את 2 בשלישית כפול 3 ברביעית אי אפשר לאחד בכלל: הם סופרים דברים שונים. חיבור מעריכים כשמחברים איברים הוא הטעות הנפוצה ביותר כאן: x בריבוע ועוד x בשלישית אינו x בחמישית.
- האם (a + b) בריבוע שווה ל־a בריבוע ועוד b בריבוע?
- לא, וזו הטעות ששווה לתת לה שם. העלאה בריבוע מתפלגת על כפל, לא על חיבור. (ab) בריבוע באמת שווה ל־a בריבוע כפול b בריבוע, אבל (a + b) בריבוע נפתח ל־a בריבוע ועוד 2ab ועוד b בריבוע. האיבר האמצעי החסר הוא מה שטבלת פתיחת הסוגריים הופכת לגלוי.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
פותר משוואות פתיחת המחשבון